抽样分布的研究
由上述讨论过程可以看出，通过用两种方法推出统计学上t分布的概率密度函数，此方法独特新颖??.
12定理5
?13? 设x1?xn是来自正态总体N?????的样本，则
2nx??s???t?n?1?.
定理5表明:当正态分布的参数?未知时，可以借助t分布对其进行估计. 定理6?13? 设x1,,xm是来自N??1,?12?的样本，y1,,yn是来自N??2,?22?的样本，
且此两样本相互独立，当?12??22时，则有
?x?y????????t?m?n?2? (12)
12sw11?mn其中
sw?14?m?1?sx2??n?1?sy2m?n?21m1n22,s?(xi?x),???sy?(yi?y)2 ??m?1i?1n??i?12x定理??6表明:当两个独立正态分布总体的方差参数?2未知时，可以借助t分布估计两个正态总体的均值关系:
?1??2??,?1??2????1??2??.
4.3 F 分布
4.3.1 基本概念
F分布是1924年英国统计学家R.A.Fisher提出，并以其姓氏的第一个字母命名的??．
15 F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比
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三大抽样分布
率这一统计量的分布．即： 上式F服从第一自由度为k1，第二自由度为k2的F分布。 设随机变量X1与X2独立，则称F=X1/m的分布是自由度为m与n的F分布，记X2/n16为F～F（m，n），其中m称为分子的自由度，n称为分母的自由度??. 下面来分为两步来导出F分布的密度函数 第一步，我们导出Z=X1?2（m）?2的密度函数，若记p和（x）和p（x）分别为12X2（n）的密度函数，根据独立随机变量商的分布的密度函数的公式，Z的密度函数为 pz(z) = = ?z?0x2p1?zx2?p2?x2?dx2 m?12m?n2?m??n???????2?2??2???0xm?n?122ex?2?1?z?2dx2 (13) 运用变换u = x2?1?z?,可得 2pz?z? = zm?12?1?z??m?n2?m??n????????2??2???0um?n?1?u2edu, ?m?n?最后的定积分为伽玛函数???，从而 ?2??m?n????mm?n2?2?1??pz?z? = z?1?z?2,z?0. ?m??n????????2??2? 第二步，我们可以导出F=nZ的密度函数，设F的取值为y，对y?0，有 m?mpz?y? = pz??n?my? ?n
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抽样分布的研究
?m?n?mm?n????1?2??m?2?m?2m= ? ?y??1?y?n?2?m??n?n??????????2??2??m?n??m??????2??n? = ??m??n????????2??2?m2m?n2 ym?12?m??1?y?n??? (14) 这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。 当随机变量F~F(m,n)时，对给定?(0 < ? < 1),称满足概率等式 17P(F?F1???m,n?) = 1-?的F1???m,n?是自由度为m与n的F分布的1-?分位数??. 由F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1F~F(n,m)，故对给定?(0 < ? < 1), ? = P?从而 ??1?1?? ?F??n,m?? = P?F???F??n,m???F????1?P?F??? = 1-?， ??Fn,m???这说明 F??n,m??1 F1???n,m?对小的?，分位数F1???n,m?可以从附表5中查到，而分位数F??n,m?则可以通过上述公式得到 4.3.2 分布性质
F分布的性质
1、它是一种非对称分布；
2、它有两个自由度，即n1?1和n2?1，相应的分布记为F（ n1?1，n2?1），通常
n1?1称为分子自由度， n2?1通常称为分母自由度；
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三大抽样分布在区间估计与假设
3、F分布是一个以自由度n1?1和n2?1为参数的分布族，不同的自由度决定了F 分布的形状.
5 三大抽样分布在区间估计与假设检验中的应用
三大抽样分布在区间估计中有广泛的应用.区间估计就是用一个区间去估计一个未知参数，即把未知参数值估计在某两个值之间.它包括两部分内容:一是这个区间范围的大小，二是总体样本落在这个区间范围内的概率.三大抽样分布在区间估计中的应用很广泛，譬如，对商品的质量进行估计、对某班学生的学习情况进行估计等.
正态总体N??,?2?是最常见的分布，下面本文将讨论它的两个参数的置信区间的计算问题.
例1. 假设轮胎的寿命服从正态分布.为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命(单位:万公里)如下:
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.02 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 试求平均寿命的0.95置信区间.
解: 由此正态总体标准差?未知，可采用t分布均值的置信区间. 由样本计算得
x?4.7092,s2?0.0615 （15） 这里有
n?12,??0.05 （16） 查表得
t0.975?11??2.2010 （17）
由于平均寿命?的1??置信区间为 ??x?t1??2?n?1?s
n,x?t1??2?n?1?sn?? （18）
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