三大抽样分布
X12 由F变量构造可知，t = ~F(1 , n),将上式两边关于y求导可得t分布的密X2n2度函数为 1?n?1??()???n?22pt(y) = ypF(y) = 1n??()????2?2?12?y??1?2?2?1????12??1?y??n?1?n?2y ?n?1?n?1???2y??22?????1? =，???y??? （7） ??n??n?nπ?????2?这就是自由度为n的t分布的密度函数。 t分布的密度函数图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数9形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些??． 定义2?? 设随机变量X1与X2独立且X1?N?0,1?，X2??2?n?，则称t?10X1X2n的分布是自由度为n的t分布，记为t?t?n?. 数学期望:??t?n????，方差:Var?t?n???11n n?2定理??4 若 X??2?m?，则t?Y?N?0,1?且独立，布，记为t?t?m?，则其概率密度函数为
Y服从自由度为m的t分Xm?m?1?m?1??22??z?2? (8) pt?z???1??m??m?m??????2???证明:(方法一)
首先由标准正态密度函数的对称性知，Y与?Y有相同的分布，从而t 与?t有相同的分布.则对任意实数z有
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抽样分布的研究
于是
P?0?t?z??P?0??t?z??????????????????????P??z?t?0?
P?0?t?z??1P?t2?z2? 2由F变量构造可知
t2?Y21Xm?F?1,m?
则对上式关于z求导得
pt?z??p2F?z?z1??2?1?m????1??1 ???????????2??m?22?1?1??1?m22???1??m?z??1?z?z?2???m?????2?????m?1??m?1???????????2???1?z2??2m????m?m???2???由此可得定理结论. (方法二)
首先由X与Y相互独立知，?X,Y?的联合密度函数为
mp?x,y??1212m?mx?1e?2x1?1y2 (10)
22???2?e?2??根据变量变换法，令
U?YXm,V?X?Y2 则
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(9) 三大抽样分布
?y?u??xm??v?x?y2??
其反函数为
mv?x???m?u2? ???y?umvmm?u2其变换的雅可比行列式为
J???u,v???x,y?
y?x??321??
2m??m??xm12y (11)
??mx?32?x?y2?则?U,V?的联合密度函数为
p?u,v??p?x?u,v?,y?u,v??1Jm3????????????1?mv?2?11?12?u2mvm?m?u2?x2m?e?12?mvm?u222???m??m?u2??2?em?x?y2??2?????m?1?m?1?1?2?m?1??m?1v2?11e?2v1u2??222???m?1??2??m????m????m? ??2??又由于U与V相互独立，所以
p?u,v??pV?v?pU?u?
由此可得定理结论.
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