菁优网
www.jyeoo.com ∴AD⊥BC，故∠ADB=90° ∵BE⊥AE， ∴∠AEB=90°，∠DAE=90°， 故四边形AEBD是矩形． ∴AB=DE． 点评： 本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性． 339．（2009?安顺）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF． （1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论； （证法2：可根据AF平行且相等于DC，得出四边形ADCF是平行四边形，从而证得DE是△BCF的中位线，由此得出D是BC中点） （2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形． 解答： （1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE． ∵AF∥BC， ∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE． ∴△AFE≌△DBE． ∴AF=BD． ∵AF=DC， ∴BD=DC． 即：D是BC的中点．（4分） （2）解：四边形ADCF是矩形； 证明：∵AF=DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC即∠ADC=90°． ∴平行四边形ADCF是矩形．（8分） 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识． 340．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
?2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
考点： 矩形的判定． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证． （2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证 解答： （1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO，（2分） 同理，FO=CO，（3分） ∴EO=FO．（4分） （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分） ∵EO=FO，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形，（6分） ∵CF平分∠BCA的外角， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠2+∠4=×180°=90°． 即∠ECF=90度，（7分） ∴四边形AECF是矩形．（8分） 点评： 本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 341．（2008?宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
?2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF； （2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE， ∵E为BC的中点， ∴EB=EC， ∴△ABE≌△FCE， ∴AB=CF． （2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形． 理由如下：∵AB∥CF，AB=CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵BC=AF， ∴四边形ABFC是矩形． 点评： 此题主要考查了学生对全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况． 342．（2008?南京）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形．
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件． （2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 解答： 证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF， ∴BF=CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC． 在△ABF和△DCE中， ?2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠B=∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴四边形ABCD是矩形． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． 343．（2007?荆州）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 是平行四边形，根据两组对边分别相等． ． （2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 是平行四边形，根据一组对边平行且相等． ． （3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为 由是 有一直角的平行四边形是矩形 ；当点B的移动距离为 角线互相垂直平分的四边形是菱形 ．（图3、图4用于探究） 时，四边形ABC1D1为矩形，其理
时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是 对
考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题： 综合题；动点型． 分析： （1）根据两组对边分别相等，可判定四边形ABCD是平行四边形； （2）根据一组对边平行且相等，四边形ABC1D1是平行四边形； （3）当点B的移动距离为时，∠C1BB1=60°，则∠ABC1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC1D1为菱形． 解答： 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，根据两组对边分别相等； （2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等； （3）当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为矩形，根据有一直角的平行四边形是矩形； 当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 点评： 此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质． 344．（2006?济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
?2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
考点： 矩形的判定． 专题： 方案型． 分析： （1）和题目给出的方法是相同的，只不过②和③换了换位置而已； （2）可先把四边形沿对角线分成两个三角形，然后再按照题目给出的方法进行拼接． 解答： 解：（1）如图所示： （2）如图所示： 点评： 本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力．读懂题意是本题的关键． 345．（2006?淮安）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△EDB；
（2）只需添加一个条件，即 AB∥CD 等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
?2010-2014 菁优网