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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定． 专题： 证明题；开放型． 分析： （1）题中条件给的很充分，可根据SSS直接判定三角形全等． （2）本小题应先证明四边形ABCD为平行四边形，再通过△ABD≌△EDB得到∠A=∠E=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形． 解答： 证明：（1）∵AB=CD=ED，AD=EB，BD=BD， ∴△ABD≌△EDB； （2）根据矩形的判定得，可添加AB∥CD； ∵AB=CD=ED，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵BE⊥DE， ∴∠E=90°． ∵△ABD≌△EDB， ∴∠A=∠E=90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 点评： （1）本题考查三角形全等的判定方法； （2）是一道考查矩形的识别方法的开放性题目，答案可有多种． 346．（2006?成都）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE． （2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形． 解答： （1）证明：在△ADF和△CDE中， ∵AF∥BE， ∴∠FAD=∠ECD． 又∵D是AC的中点， ∴AD=CD． ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com ∵∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE． ∴AF=CE． （2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形． 证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AC=EF， ∴平行四边形AFCE是矩形． 点评： 两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明． 347．（2004?贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长．
考点： 矩形的判定；三角形中位线定理． 专题： 压轴题． 分析： （1）由A1D1分别是△ABD的中位线，B1C1是△CBD的中位线知，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，故四边形A1B1C1D1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1知，四边形A1B1C1D1是矩形； （2）由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，故矩形A1B1C1D1的面积为12，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，为6； （3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为； （4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长，再求得它的周长． 解答： （1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中位线 ∴A1D1∥BD，A1D1=BD， 同理：B1C1∥BD，B1C1=BD ∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
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www.jyeoo.com ∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1， ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90° ∴四边形A1B1C1D1是矩形； （2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3， 得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6； （3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 故四边形AnBnCnDn的面积为 （4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3． ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1 ∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则解得∴ ， ； ∴矩形A5B5C5D5的周长=方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 22=（矩形A5B5C5D5的周长）/（矩形A1B1C1D1的周长） 即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）：14 ∴矩形A5B5C5D5的周长=． 22点评： 本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解． 348．（2011?古冶区一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；探究型． 分析： （1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形． 解答： 证明： ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com （1）∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ， ∴△AEF≌△DEC， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形． ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90° ∵AF=BD， ∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识． 349．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．
考点： 矩形的判定；菱形的性质． 专题： 证明题． 分析： 根据矩形的判定定理，首先可证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得∠E=90°，即可证明平行四边形OCED是矩形． 解答： 解：是矩形．（1分） 理由：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴DE⊥CE， ∴∠E=90°， ∴平行四边形OCED是矩形．（7分） 点评： 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 350．（2009?苏州一模）如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F． （1）试说明四边形AECF是平行四边形；
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www.jyeoo.com （2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；
（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．
考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题： 应用题． 分析： （1）平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为EF过AC的中点O，通过三角形全等证明AE=CF，可选择利用“对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决． （2）“对角线平分且垂直的平行四边形是菱形”判定菱形．∵四边形AECF是平行四边形 ∴EF与AC互相平分 ∵EF与AC垂直 ∴四边形AECF是菱形 （3）“对角线平分且相等的平行四边形是矩形”判定矩形． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC∥AD ∴AE∥CF ∴∠OAE=∠OCF ∵点O是AC的中点 ∴OA=OC 在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF ∴△AOE≌△COF ∴AE=CF ∵AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形 （2）∵四边形AECF是平行四边形 ∴EF与AC互相平分 ∵EF与AC垂直 ∴四边形AECF是菱形 （3）当EF平分AC且等于AC时，四边形AECF是矩形． 点评： 考查平行四边形、菱形、矩形的判定． 351．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒， ①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明你的理由；
②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
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