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www.jyeoo.com 分析： 根据正方形的性质可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质，BE=AF，AE=DF，得出BE﹣DF=EF； 同理可得出图（2）DF﹣BE=EF；图（3）中的DF+BE=EF． 解答： 解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE﹣DF=EF； 在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF﹣BE=EF； 在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF． （2）对图①中结论证明如下： ∵BE⊥PA，DF⊥PA， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=90°， 又∵∠AFD=90°， ∴∠ADF+∠DAF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵在△BAE和△ADF中， ， ∴△BAE≌△ADF（AAS）， ∴BE=AF，AE=DF， ∵AF﹣AE=EF， ∴BE﹣DF=EF． 点评： 主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题． 356．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由
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www.jyeoo.com B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；
若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 压轴题；动点型． 分析： （1）根据三角形判定方法进行证明即可． （2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了． （3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD， ∴∠BAE=∠DAG， ∴△BAE≌△DAG． （2）解：∠FCN=45°， 理由是：作FH⊥MN于H， ∵∠AEF=∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠FEH=∠BAE， 又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°， ∴△EFH≌△ABE， ∴FH=BE，EH=AB=BC， ∴CH=BE=FH， ∵∠FHC=90°， ∴∠FCN=45°． （3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变， 理由是：作FH⊥MN于H， 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°， 结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG， 又∵G在射线CD上， ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°， ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE， ∴EH=AD=BC=b， ∴CH=BE， ∴==； ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 在Rt△FEH中，tan∠FCN===， ∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=． 点评： 本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例． 357．（2009?南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F． 求证：AF=BF+EF．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： 因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF． 解答： 证明：∵ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°（1分） ∵DE⊥AG， ∴∠DEG=∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠ADE=∠BAF．（2分） ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEG=∠AED．（3分） 在△ABF与△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE（AAS）．（4分） ∴BF=AE．（5分） ∵AF=AE+EF， ∴AF=BF+EF．（6分） 点评： 此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．
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www.jyeoo.com 358．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． （2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． 解答： 解：（1）正确．（1分） 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．（2分） ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA），（5分） ∴AE=EF．（6分） （2）正确．（7分） 证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN=CE，连接NE．（8分） ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）（10分） ∴AE=EF．（11分） 点评： 此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况． 359．（2009?佛山）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 本题是基础题，先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解． 解答： 解：∵CE⊥DF， ∴∠CDF+∠DCE=90°， 又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°， ∴∠CDF=∠BCE， 又∵BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°， ∴△BCE≌△CDF（ASA）， ∴CE=DF， ∵CE=10cm， ∴DF=10cm． 注：证明△BCE≌△CDF，给（5分）； 根据三角形全等得DF=10，给（1分）． 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解． 360．（2008?黄冈）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．
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