2014年北京中考数学压轴题集锦答案
1．（北京模拟）已知抛物线y＝－x＋2x＋m－2与y轴交于点A（0，2m－7），与直线y＝2x交于点B、C（B在C的右侧）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE＝∠CFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；
2
（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于
坐标轴），设运动时间为t秒．若△PMQ与抛物线y＝－x＋2x＋m－2有公共点，求t的取值
2
范围．
y A B O x M P C Q 解：（1）把点A（0，2m－7）代入y＝－x2
＋2x＋m－2，得m＝5
∴抛物线的解析式为y＝－x2
＋2x＋3
?
（2）由?
?y＝－x2
＋2x＋3?x1＝?
?y＝2x 解得?3?x2＝－3
?y ?
1＝23?y2＝－23
∴B（3，23），C（－3，－23）
∵y＝－x2
＋2x＋3＝－(
x－1)2
＋4 ∴抛物线的对称轴为x＝1 设F（1，y）
∵∠BFE＝∠CFE，∴tan∠BFE＝tan∠CFE
当点F在点B上方时，3－1 3＋
y－23 ＝1
y＋23
解得y＝6，∴F（1，6）
当点F在点B下方时，3－1 3＋1
23－y ＝
－y－23
解得y＝6（舍去）
∴满足条件的点F的坐标是F（1，6）
（3）由题意，OP＝5t，OQ＝25t，∴PQ＝5t ∵P、Q在直线直线y＝2x上 ∴设P（x，2x），则Q（2x，4x）（x
＜0）
∴x22
＋4x ＝5t，∴x＝－t
∴P（－t，－2t），Q（－2t，－4t） ∴M（－2t，－2t）
当M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t2
－4t＋3
解得t＝13－1
4
（舍去负值）
当P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t2
－2t＋3 解得t＝3（舍去负值）
∴t的取值范围是：13－1
≤t≤3
4
F y E A B O x C y A B O x M P C Q 2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF． ①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；
②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t的值．（正方形在x轴上的边除外） y A D E
M G
x OP F B N Q C
2
解：（1）∵抛物线y2
1＝ax
＋3x＋c经过原点及点A（1，2）
∴???c＝2??a＝y ?a＋3＋ 解得
?－1?c＝2??
c＝0 ∴抛物线y2
A 1的解析式为y1＝－x
＋3x
令y＝0，得－x2
1
＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 ∴B（3，0）
D E （2）①由题意，可得C（6，0） 过A作AH⊥x轴于H，设OP＝a
OP H F B 可得△ODP∽△OAH，∴
DP
OP
＝AH
＝2 ∴DP＝2OP＝2a
OH
∵正方形PDEF，∴E（3a，2a） ∵E（3a，2a）在抛物线y2
1＝－x
＋3x上
∴2a＝－9a2
＋9a，解得aa71＝0（舍去），2＝
9
∴OP的长为7
9
②设直线AC的解析式为y＝kx＋b
??2＝ky ∴?＋b?
?0＝6k＋b
解得k＝－2
5，b＝12 5
A D E M G ∴直线AC的解析式为y＝－212
5 x＋
5
O P N F Q C x 由题意，OP＝t，PF＝2t，QC＝2t，GQ＝4
5
t
y 当EF与MN重合时，则OF＋CN＝6 D E ∴3t＋2t＋
4
5
t＝6，∴t＝30A
29
M G 当EF与GQ重合时，则OF＋QC＝6 O P N F Q C x ∴3t＋2t＝6，∴t＝6
5
当DP与MN重合时，则OP＋CN＝6 ∴t＋2t＋
45
t＝6，∴t＝30
19
当DP与GQ重合时，则OP＋CQ＝6
∴t＋2t＝6，∴t＝2
y y D E D E A A G M G M O F P N Q F C x O N P Q C x M G N Q C x 3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
y
C
Q x B A D P O
2