解：（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点
2
??9a－3b＋4＝011∴? 解得a＝－，b＝ 33?16a＋4b＋4＝0?
y C 121
∴所求抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4
33
（2）连接DQ，依题意知AP＝t ∵抛物线y＝－
121
x＋x＋4与y轴交于点C 33
Q A D P OB x ∴C（0，4）
又A（－3，0，B（4，0）
可得AC＝5，BC＝42，AB＝7
∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42
∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB ∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC ADDQ
∴△ADQ∽△ABC，∴＝ ABBC
y C Q 1x＝ 2 7－42ADDPDP
∴＝，∴＝ ABBC742
M 解得DP＝42－
3217
，∴AP＝AD＋DP＝ 77
A OE B x ∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为（3）设抛物线y＝－
17
7
1211
x＋x＋4的对称轴x＝与x轴交于点E 332
由于点A、B关于对称轴x＝
1
对称，连接BQ交对称轴于点M 2
则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ
当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO 3
∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝
4
∴
ME3ME321
＝，即 ＝，解得ME＝ BE4148
4－
2
121∴M（，）
28
121∴在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得MQ＋MA的值最小
28
4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒
4
个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持3
l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合； （2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′ 落在EF上，点F的对应点为F′ ，当EF′⊥AB时，求t的值；
（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；
（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．
C C l
E
P
A B A B F
备用图
解：（1）3；4.5
提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝
6＋8＝10，∴sinB＝
22
AC3BC4AC3
＝，cosB＝＝，tanB＝＝ AB5AB5BC4
C
(P) E l
当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE
∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)
∵CE＝
44
t，∴4(t－2)＝t，解得t＝3 33
当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF
∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)
A F B
∵CE＝
44t，∴BE＝8－t 33
C
在Rt△BEF中，8－
BE
＝cosB BF
4t34
∴＝，解得t＝4.5
55(t－4)
l
E A
(P) F B
（2）由题意，∠PEF＝∠MEN ∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN
∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tanB CEAC3
∵tan∠CPE＝，tanB＝＝
CPBC4
C P M A
F N E l
∴
CE34
＝，∴CP＝CE CP43
B
∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝
4
t，∴CP＝6－3t 3
4454
∴6－3t＝×t，解得t＝
3343
C P O （3）连接PQ交EF于O
∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ 若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝①当点P在AC边上运动时
易知四边形POEC为矩形，∴OE＝PC ∴PC＝∵CE＝
l E
1EF 2
Q
A
F B
1EF 2
4434
t，∴BE＝8－t，EF＝BE2tanB＝(8－t)＝6－t 3343
16
∴6－3t＝(6－t)，解得t＝
25
②当点P在CB边上运动时，P、E、Q三点共线，不存在四边形PEQF
③当点P在BA边上运动时，则点P在点B、F之间 ∵BE＝8－
4BE545t，∴BF＝ ＝(8－t)＝10－t 3cosB433
∵BP＝5(t－4)，∴PF＝BF－BP＝10－
520
t－5(t－4)＝30－t
3 ∵∠POF＝∠BEF＝90°，∴PO∥BE，∴∠OPF＝∠B 在Rt△POF中，
OF
PF
＝sinB
1
∴ 2(6－t)
＝3 ，解得t＝30
30－20 5 7
3
t
∴当t＝
6
5
或t＝30
7
时，四边形PEQF为菱形
?
－
2
?3
t2
＋4t（0≤t
≤2）
?42
3 t
－12t＋
24（2＜t
≤3）
（4）S＝?4
2
－
3 t
＋12t－
24（3＜t
≤4）
?82
?3 t
－28t＋
72（4＜t
≤4.5）
?－
82
3
t
＋28t－
72（4.5＜t
≤6）
S的最大值为16
3
3
C l
Q E O A
F P
B 5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4．点P从点B出发，沿线段BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P作直线BC的垂线PE，垂足为E．设点P的运动时间为t（秒）． （1）∠A＝___________°；
（2）将△PBE沿直线PE翻折，得到△PB′E，记△PB′E与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）在整个运动过程中，是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三
角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． D
C
B′
E
A P B D C A B
备用图