解：（1）由题意，△＝4－4(a＋2a＋5)＝－4(a＋1)＝0 ∴a＝－1
222
原方程可化为x－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝2
（2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M
2
∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝3 ∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝3∵AP＝t，∴PM＝t
2
3 2
M A D K G F
Q
C
∵t＞1，∴点P在点E下方
延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N
S P B
E ON 则PS＝
33t－ 22
H
∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD ∴
t－1ENPEEN＝，∴＝ ADPA2t
∴EN＝
2(t－1)2(t－1)
，∴QN＝2t－ tt
2(t－1)1333
∴S＝(2t－)(t－＋)
2t222
＝
3233t－t＋ 222
即S＝
3233
t－t＋（t＞1） 222
（3）由题意，AM＝
2
2
2
11
t，∴DM＝2＋t 22
∴DP ＝DM ＋PM ＝(2＋
12322
t)＋(t)＝t＋2t＋4 22
又DQ ＝DK ＋KQ ＝(PQ ＝PS ＋SQ ＝(
2
2
2
222
32122
)＋(2t－－2)＝4t－10t＋7 22
t－123322t－)＋(2t＋)＝7t－4t＋1 222
①若∠PDQ＝90°，则DP ＋DQ ＝PQ
222
∴t＋2t＋4＋4t－10t＋7＝7t－4t＋1 解得t＝6－1（舍去负值）
222
②若∠DPQ＝90°，则PD ＋PQ ＝DQ 222
∴t＋2t＋4＋7t－4t＋1＝4t－10t＋7
222
解得t＝
6
－1（舍去负值） 2
③若∠DQP＝90°，则DQ ＋PQ ＝PD ∴4t－10t＋7＋7t－4t＋1＝t＋2t＋4解得t＝
222
222
4±6
5
综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝
4±66
－1，t＝ 25
8．（北京模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6，DF＝8，E、F两点在BC边上，DE、DF两边分别与AB边交于点G、H．固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC边以每秒1个单位的速度向点C运动；同时点P从点F出发，在折线FD－DE上以每秒2个单位的速度向点E运动．当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）当t＝2时，PH＝_________，DG＝_________； （2）当t为何值时，△PDE为等腰三角形？请说明理由； （3）当t为何值时，点P与点G重合？写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（用含t的代数式表示）．
A D
G P H C E F B
A C
B
备用图
526
解：（1）
25
提示：当t＝2时，BF＝2，PF＝4
335313
由△HBF∽△ABC，得HF＝，∴PH＝4－＝，DH＝8－＝
22222
由△DHG∽△BAC，得DG＝
26 5
（2）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD＝PE ∵BF＝t，PF＝2t，DF＝8，∴PD＝8－2t 在Rt△PEF中，PE ＝PF ＋EF ＝4t＋36
2222
722
得(8－2t)＝4t＋36，解得t＝
8
7
∴当t＝时，△PDE为等腰三角形
8
（3）当点P与点G重合时，点P一定在DE边上，DP＝DG ∵tanB＝
AC93EF63＝＝，tanD＝＝＝，∴∠B＝∠D BC124DF84
∴∠DGH＝∠BFH＝90°
33
∴HF＝BF2tanB＝t，DH＝DF－HF＝8－t
44
A D 34332
DG＝DH2cosD＝(8－t)×＝－t＋ 4555
33272
由DP＝DG得2t－8＝－t＋，解得t＝ 5513
G
P H F B ∵4＜
72
＜6，∴此时点P在DE边上 13
C E ∴当t＝
72
时，点P与点G重合 13
（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，tan∠PBF＝
EF
＝2 DF
当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，作PM⊥BC于M，则tan∠PBF＝
PM
BM
可得PE＝DE－DP＝10－(2t－8)＝18－2t
4872
PM＝PE2cos∠EPM＝PE2cosD＝(18－2t)＝－t＋
555
A P G D 3654
EM＝PE2sin∠EPM＝PE2sinD＝(18－2t)＝－t＋
555
6541124
BM＝BF＋EF－EM＝t＋6－(－t＋)＝t－ 5555
H C E M F B ∴tan∠PBF＝
72－8tPM
＝ BM11t－24
2（0＜t≤4）??
综上所述，tan∠PBF＝?72－8t
（4＜t≤6）??11t－24