(a)马鞍形 (b)抛物线 (c)钟形
图2-5基底反力分布的几种典型情况
2.3地基条件对基础受力状况的影响
2.3.1地基土的压缩性及其分布的影响
基础受力状况（乃至上部结构的受力状况）还取决于地基土的压缩性（即软硬程度或刚度）及其分布的均匀性。当地基土不可压缩时（例如基础坐落在未风化的基岩上），基础结构不仅不产生整体弯曲，局部弯曲亦很小，上部结构也不会因不均匀沉降产生次应力。实践中最常遇到的情况却是地基土有一定的（有时是很大的）可压缩性，且分布不均。例如图2-7所示的情况，基础弯矩分布就截然不同。
图2-7地基条件对基础受力的影响
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2.3.2基础与地基界面处的边界条件及其影响
当分析基础与地基相互作用问题时必须确定两者界面处的边界条件，然而这却是一个比较困难的任务。界面处往往显示出摩擦特征。由于土的强度有限，形成的摩擦力也有限，不会超过土的抗剪强度。孔隙水压力的变化，可能改变压缩过程中摩擦力的大小与分布。此外，外荷载的分布和性质、基础的相对柔度以及土的蠕变等涉及时间变化的效应等都会影响到界面条件。因此，应从完全光滑一直到完全粘着（不发生相对滑动）这两种极端情况之间来慎重估计界面摩擦的影响。例如，对界面完全粘着的绝对刚性的箱形基础，当土的泊桑比??0.5时，其沉降与界面完全光滑时的沉降相同，但当??0时，则使沉降比完全光滑时小9%[37]。一般地说，粘着和摩擦总是减少基础的沉降，且对非常柔性的基础，影响要更大些。此外，除了要确定界面上的摩擦条件外，还要规定界面脱离接触的条件。由于结构物的自重很大，足以防止界面上的接触损失，即不会出现拉应力。因此在分析竖向荷载作用下的基础工作性状时，除特别说明外，一般均假定基础与支承土体之间为光滑接触，即仅竖向位移保持连续。
2.4上部结构、基础和地基共同作用的概念
前面简单介绍了上部结构与基础和地基组成的静力平衡系统中各自刚度对其它部分工作性状的影响。事实上，三个组成部分是彼此不可分离的整体，每一部分的工作性状，都是三者共同作用的结果。共同作用分析，就是把上部结构基础和地基看成是一个彼此协调工作的整体，在连接点和接触点上满足变形协调的条件下求解整个系统的变形与内力。
这是一个多维与无穷维的超静定问题，只是到了电子计算机出现后，这种分析才成为现实与可能。
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第3章 共同作用的分析模型
3.1 引言
在建筑结构设计中，目前仍然采用把上部结构、基础和地基分离开来进行考虑。这种方法只考虑三者之间力的平衡，不考虑其位移的协调关系，即把上部结构看成是固支在基础上的，计算出上部结构的内力和支座反力；计算基础时，再把支座反力反作用在基础上，并假定地基反力呈线性分布作用在基础底面上，从而应用倒梁法、静定梁法等方法计算基础的内力。在地基的分析中，则按线性分布的基底反力进行强度和变形验算。这种方法，我们通常称为常规设计方法。
在常规设计方法中，割裂了上部结构、基础和地基的协同工作关系，这不完全符合实际情况，将带来一些问题。在上部结构的计算时，实际上假设了基础是绝对刚性的。然而，基础受力后总是要产生变形的，这将导致上部结构产生次应力，对上部结构来说是偏于不安全的因素。当地基土层比较软弱时，框架结构由于不均匀沉降将产生较大的次应力，往往是导致框架结构开裂的重要原因之一。为了避免这种问题的发生，工程师们可能力图将基础也设计成刚性的，致使基础工程的造价增加。另一方面，在桩筏基础的实际应用中，人们在一些工程中发现，基础的作用远远没有得到充分地发挥，因而较大幅度地减小板厚等降低基础的刚度来发挥筏板基础材料承受荷载的能力。这样，又可能发生基础的变形较大的情况，致使上部建筑物产生比较大的次应力，使上部结构受力不利。
因此，在实际工程的设计计算中应采用共同作用的分析方法，使设计更为合理、经济。所谓共同作用指的是上部结构、基础和地基三者之间的共同作用。上部结构、基础与地基共同作用的分析方法，就是把上部结构、基础与地基三者作为一个彼此协调工作的整体进行分析，计算各部分的内力与变形。其基本假定是整个体系符合静力平衡条件，上部结构与基础之间、基础与地基之间的连接部位满足变形协调。共同作用分析法的核心是结构的整体分析，研究结构整体的内力与变形。
传统的结构求解方法有力法、位移法和渐进法，是建立在手算基础上的。计算技术的发展使得上部结构与地基基础共同作用分析成为可能。对于计算机结构
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程序，采用的是结构矩阵分析法，即有限元法。然而，即使如此，仍然会遇到庞大的结构与有限的计算机容量之间的矛盾。由于上部结构数据非常庞大，一般的计算机容量更是无法满足要求，因此，必须采取措施分批处理，常用的有子结构法和波前法。波前法效率较高，但程序处理复杂，不便于耦合不同结构体系间的共同作用。子结构法则有许多方便和优越之处。
结构分析的子结构法最早是为解决飞机结构这类大型和复杂结构的有限元分析问题而发展起来的，而后被Haddadin[133]用于共同作用分析，并且已经取得快速发展。子结构法能明确表达上部结构刚度与荷载的凝聚过程[134][135][136]，特别适用于高层建筑所特有的以标准层沿竖向呈串联的构成方式[137]，经双重和多重化可以公式化处理复杂的上部结构[138][139]，对于编制程序的通用性、扩展性均有好处，因此，在高层建筑与地基基础共同作用分析中经常采用子结构法，公认为是一种有效的方法。
上部结构、桩筏基础与地基的共同作用分析主要从以下四个方面进行：(1)上部结构的分析；(2)筏板的分析；(3)桩的分析；(4)地基的分析。
上部结构通常由梁、板、柱等组成，首先建立顶上一层的结构刚度和荷载矩阵，然后向边界凝聚，形成边界刚度矩阵和荷载矩阵，并作为下一层结构的刚度和荷载的一部分，建立结构刚度和荷载矩阵，向边界凝聚，再作为下一层结构的刚度和荷载的一部分，依次类推，直至形成上部结构边界节点的刚度和荷载矩阵。基础通常也由梁、板、柱等组成，可以由有限元法建立刚度矩阵和荷载矩阵。对于地基，首先是确定使用的地基模型，求出地基的柔度矩阵后，再求逆得到地基的刚度矩阵。
最后，根据把上部结构边界节点的刚度和荷载与地基、基础的刚度和荷载进行装配，可以建立上部结构-地基-基础共同作用的基本方程，从而可对基础沉降和结构内力进行分析。
3.2上部结构的子结构分析方法
子结构的思想是把模型的一个部分分开来考虑，对于模型整体而言，这个分离部分是一群单元(即模型的子集)，因此称为子结构。子结构对模型的贡献(刚度和质量)是通过把子结构内部单元的刚度和质量凝聚到保留节点的自由度上，称
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为外部节点和外部自由度，相应的被消除的节点和自由度称为内部节点和内部自由度；在进行整体分析时，就可以直接利用子结构的等效刚度矩阵和荷载，而不再考虑子结构的内部情况。
子结构法将大型空间结构划分为逐个层次的子结构，形成双重、三重乃至更多重的子结构体系，对于某一层次的子结构而言，其节点可分为内节点（以i表示）和边节点（以b表示）两种。设该子结构全部节点的自由度总数为n，则其平衡方程可用分块矩阵表示如下：
?kii?k?bikib??Ui??Qi?????? （3-1） kbb???Ub??Qb? 式中：UiUb：内节点和边界节点位移的列向量；
QiQb：相应于内节点和边界节点位移的荷载列向量。
图3-1 子结构节点分类图
展开上式有：
[Kii]?Ui??[Kib]?Ub???Qi? (3-2) [Kbi]?Ui??[Kbb]?Ub???Qb? (3-3)
由式(2-3)得：
?Ui??[Kii]?1{{Qi}?[Kib]{Ub} (3-4)
将式(2-4)代入(2-3)中，可以消去内部节点位移{Ui}，得到关于边界节点位
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