?D1式中：?D????00? ?D2???13Eh??D1?212(1??)??0??10?0?0? 1????2?D2?5Eh?01? ?2?12(1??)?10????y??x???w?????w??,??,??,???? y??x????y??x???x???y????T????????y,???x?y???x?F???Q,?Mnns,Mn
??u???w,?n,?s?T
其中，h——板的厚度；
E、μ——板的弹性模量和泊松比； q——板面上作用的分布荷载； p——基底反力；
n、s——板边界的法向和切向坐标。
将板划分为有限元计算网格后(与地基土的网格一致)，第i节点的位移记为：
??i??wi,?xi,?yi设单元格内的位移为：
?u??w,?x,?y设单元各节点位移为：
??????1?,??2?,...,?geTT?? （3-16）
T?? （3-17）
T????（g为单元节点数）(3-18)
T{u}为???的插值函数，即
e?u???N????e (3-19)
又有
?????B????e ?u???N????e (3-20)
21
其中[N]为形函数，[B]为应变矩阵或几何矩阵，由[N]与微分矩阵算子运算所得。
根据最小势能原理得：
???0 (3-21) ??将式(3-15)代入式(3-21)得：
?????B??D??B?dxdy?????????(q?p)?N?dxdy???N??F?ds? (3-22)
TeTTwee令式中
??k?e????B?T?D??B?dxdy???e?T?eT??f????(q?p)?Nw?dxdy???N??F?ds (3-23) ?eT?r????p?Nw?dxdy??则式(3-22)改写成
eeee??k????????f???r?? (3-24) ee即
[Kr]?????F???R? (3-25)
式中：[Kr]——板单元的总刚度矩阵； {Δ}——节点位移列阵； {F}——节点荷载列阵； {R}——节点反力列阵。
本文的筏板采用四节点平面单元，由于厚板理论中，中面法线在变形后仍基本保持为直线，因此单元中面是平面z=0。ξ、η是单元中面内的曲线坐标，而
?是在厚度方向的直线坐标。?=1及?=-1代表单元的上下表面。单元中面内任一点的直角坐标可用曲线坐标表示如下：
x??Ni(?,?)xi， y??Ni(?,?)yi (3-26)
式中(xi,yi)为结点i的坐标，Ni(ξ，η)为形函数。对于四结点矩形单元，形函数如下：
Ni?
(1???i)?(1??i?) (3-27)
422
假设筏板厚度是均匀的，即各个结点具有相同的厚度t，则单元内任一点(ξ，η， ?)的坐标z为：
z??Ni(?,?)?t (3-28) 2假定垂直于单元中面方向的应变可以忽略，由于筏板在受荷时主要产生的是弯曲变形，在中面内的线位移也予以忽略。因此对于每个中面上的结点i，只须规定z方向的线位移wi和中面法线绕x轴的转角θ式(3-16)所示。
在结点i，由于θ
yi
xi及绕
y轴的转角θyi，即如
的存在，离中面距离为?的一点在x方向的线位移为
?点在y方向的线位移为-t??xi/2，由于转角θxi，因此单元内任一点(ξ，t??yi/2，
η， ?)的三个位移分量分别为：
u?tNi??yi2， v??tNi??xi， w??Niwi (3-29) 2将上式分别对x，y，z求微分得：
t??yi?Ni?ut??yi?Ni?utNi?yi???u (3-29a) ??,??,???x2?x?y2?y?z2?zt??xi?Ni?vt??xi?Ni?vtN????v (3-29b) ??,??,???ixi?x2?x?y2?y?z2?z?Ni?w?Ni?w?Ni?w??wi,??wi,??wi?0 (3-29c) ?x?x?y?y?z?z由上式可以得到应变如下：
??u???x?????x???v??????y?y?????u?v????????xy??????Bi?y?x?????yz?w?v????????zx????y?z???w?u??????x?z??BjBk??i??????Bl?j? (3-30) ??k????l??? 23
式中，??i??wi?xi?yi
T????0??0???Bi???0???Ni??y???Ni???xt??Ni2?x0t??Ni2?y0tNi??2?z0t??Ni2?yt??Ni?2?xtNi???2?z?0??????? ???????在应变中，忽略了厚度方向的正应变，同理忽略了厚度方向的正应力，在筏板无初始应力和应变的情况下，应力决定于下式：
??x????y?????????xy????D???? （3-31）
????yz????zx??其中D为在?z?0情况下的各向同性弹性固体的5×5的弹性矩阵：
?1????E?0?D??1??2??0??0???0101??0200000001??2k00?0??0?? (3-32) ?0??1???2k??其中E和μ分别是承台的弹性模量和泊松比；最后两个剪应力项中的系数k取为1.2。引入该系数是为了考虑剪应力分布不均匀的影响由前面所述的位移函数的形式可以知道剪应力沿厚度方向是均匀分布的实际上是抛物线分布，k＝1.2的数值就是两种应变能的比值。
则板单元的单元刚度矩阵为：
?kii?k?k???ji?kki??kli
kijkjjkkjklkkikkjkkkkklkkil?Tkjl??????D??B?dxdydz (3-33) B????kkl?kll?24
其中kij?????Bi??D?Bjdxdydz 筏板的刚度矩阵为：
T???Kr????k?e (3-34)
e 25