移{Ub}的方程式：
([Kbb]?[Kbi][Kii]?1[Kib]){Ub}?{Qb}?[Kbi][Kii]?1{Qi} (3-5) 令
[Kb]?[Kbb]?[Kbi][Kii]?1[Kib] (3-6) {Sb}?{Qb}?[Kbi][Kii]?1{Qi} (3-7)
则得到子结构向边界节点凝聚后得等效边界刚度矩阵[Kb]、等效边界荷载向量{Sb}和边界节点位移向量{Ub}的方程：
[Kb]{Ub}={Sb} (3-8)
式(3-8)的物理意义是：子结构的原始状态方程(3-1)可等价的由低阶的边界方程(3-8)代替，即该子结构对边界节点为连接点的相邻结构在刚度和荷载上的贡献，可由[Kb]和{Sb}来等效的表达，求解式(3-8)，可得{Ub}，经式(3-4)回代可求出{Ui}，从而解决全部问题。
将上部结构分成N个子结构，如图3-2所示。每个子结构包含若干层，所包含的层数视计算机的容量而定。先从子结构1开始，向边界①－①进行凝聚，消去内部节点位移，得到子结构在边界节点的等效边界刚度矩阵[Kb1]和等效边界荷载列阵{Sb1}。把[Kb1]和{Sb1}迭加到子结构2上，形成扩大子结构2’，再继续向边界②－②凝聚。按上述步骤循环，将前一个子结构消去内部节点的位移形成等效边界刚度[Kb]与等效边界荷载{Sb}，再迭加到下一个子结构中，最终形成上部结构在基础边界N－N上的等效刚度矩阵[KB]和等效荷载列阵[SB]。
16
图3-2 子结构法求解上部结构
3.3地基计算模型
在地基与基础的相互作用中，最复杂的当数地基模型的选取。主要是地基土的力学性质不易确定，表现出与一般固体不同的特性。因此，采用与分析场地符合和比较接近的土的应力、应变关系用于相互作用计算，是得到与实测资料吻合的计算结果的关键。它不仅影响地基反力的分布和基础沉降，而且影响基础和上部结构的内力和变形分布。
地基模型主要分为线弹性地基、非线性弹性地基模型、弹塑性地基模型、粘弹性地基模型和粘塑性地基模型等。其中，线弹性地基的代表文克尔地基模型、弹性半无限体模型和分层地基模型。非线性弹性地基模型主要有邓肯一张双曲线地基模型。在研究过程中，人们对各种地基模型进行了分析和比较，并与实测结果对比。发现，当地基土很软时，采用文克尔地基模型，选用合适的参数，可以得到比较满意的结果。由于实际地基可压缩土层厚度是有限的，而且即便是由同种土层组成的地基，其变形模量也随深度而变，因而是非均匀的，所以采用弹性半无限体模型常得到较实测结果大的计算值。随着研究的深入，因为土体在应力历史、应力路径、应力水平的影响下，常表现了各向异性、非线性、弹塑性，人们逐渐把土的非线性特性考虑进来，进行相互作用的分析。但由于地基参数确定非常困难和计算的复杂性，不易在工程中推广。
目前广泛用于基础工程计算分析的仍是文克尔地基模型和弹性半无限体模
17
型。从大量实际上程的测试结果来看，基础与地基相互作用性状基本上都介于文克尔与弹性半无限体地基模型的计算结果之间。根据地基的力学特征和基础刚度的不同，或偏于接近文克尔地基模型或偏于接近弹性半无限体地基模型。由于在工程界，普遍采用文克尔地基模型进行设计，故本文计算采用的地基模型为文克尔地基模型。
文克尔地基模型假定地基是由许多独立的互不影响的弹簧组成，即地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形、成正比，p不影响该点以外地基的变形。具体表示为：
p?ks (3-9)
式中：k——地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3； p——地基上任一点所受的压力强度，kN/m2； s——p作用位置上的地基变形，m。
文克尔地基忽略了地基中的剪应力，认为变形只发生在基底范围内，基底范围外没有地基变形，这与实际情况不符，但该地基计算简单模型本构关系明确，在某些特殊情况下，如土体抗剪强度很低(淤泥、饱和软粘土等)以及基底下塑性区相对较大或地基压缩层较薄时，只要k值选择合适，采用该地基模型可获得比较满意的结果。
将文克尔地基离散化后的土体刚度Ks表示为：
?TkN?Ks???NsdA （3-10）
eA式中：ks——文克尔土体弹簧的弹性模量。
?——与筏板的竖向位移有关的形函数。 NVesic[141]利用土体的剪切模量将ks定义为：
ks?式中：Gs——土的剪切模量；
2Gs (3-11)
B(1?vs)vs——土的泊松比； B——筏板的宽度。
18
3.4筏板计算理论
3.4.1概述
纳维(Navier，C.L.)首次得到任意荷载作用下薄板弯曲的正确微分方程：
??4W?4W?4W?D???x4?2?x2?y2??y4???q (3-12) ??并用双重三角级数得到矩形简支薄板在均布荷载和集中力下的解，这是板弯曲理论中首次得到的正确解。此后泊松讨论了边界条件，对于边界受已知分布力的情况，他要求由三个条件，即横向剪力、弯矩和扭矩与作用在该边上的所有外力相平衡。泊松提出的边界条件的数目和形式引起了当时学者的热烈讨论，直到基尔霍夫(Kirchhof，G.R.)的著名论文发表后才得以澄清。
基尔霍夫提出了两个目前公认的两个假设：(1)原来垂直于平板中面的直线，变形后仍保持为直线且垂直于弯曲后的中面，即直法线假设。(1)在横向荷载作用下板发生微小弯曲时，板的中面并不伸长。基尔霍夫根据这两个假设导出著名的薄板弯曲方程。同时他指出边界上只存在两个边界条件。随后，开尔文(Lord Kelvin)对边界条件的减少作了物理解释。对于工程结构中大量存在的薄板问题，由基尔霍夫导出的近似理论已能得到满意的计算结果。
但近似理论中忽略了横向剪力对板变形的影响，若板比较厚，或在薄板集中力作用点附近以及薄板边界周围，近似理论和边界条件不仅不能得到满意的结果，甚至会导致错误的结论。为解决这一问题，瑞斯纳(Reissner，E.)引入平均转角的概念，认为变形前垂直于中面的直法线，变形后仍为直线，并以此代替直法线假设。该理论考虑了横向剪切变形的影响，得到的基本方程是一组6阶偏微分方程式，在每一条边上要满足3个边界条件。随后格林(Green，A.)、明特林(Mindlin，R.D.)相继发展了瑞斯纳理论。
从六十年代开始，随着计算技术的高速发展，有限单元法已广泛应用于力学的所有分支。对于几何形状复杂的板，在任意的荷载分布和支承条件下，有限单元法都能简单地予以处理，因而有限元法成为了平板分析中最有用的方法之一。
而对于本文研究的桩筏基础，筏板厚度有时较大，此时采用薄板理论必然有所偏差，且对于桩筏基础而言，作用在其上的有很多集中荷载，此时显然采用中
19
厚板理论较为精确，同时由于明特林提出的中厚板理论比较适合于数值计算，因此本文基Mindlin假设，采用有限元方程建立中厚板的计算理论。
3.4.2中厚板计算理论
明德林中厚板理论有如下基本假定：
(1)垂直于中面的法线在变形后仍保持为直线，但可不再垂直于中面形成的挠度曲面；
(2)垂直于板中面的法向应力所产生变形的影响可忽略不计，即考虑无横向挤压变形；
(3)板的挠度远小于板的厚度，既考虑板的小挠度理论。
明德林中厚板理论与小挠度薄板理论的不同之处在于考虑了横向剪切变形，即考虑了横向剪应力的影响。明德林中厚板方程如下：
h2??w(x,y)?q(x,y)??2q(x,y) (3-13)
5(1?v)22?2?2式中：?——拉普拉斯算子，??2?2；
?x?y2
2q(x,y)——板面荷载； h——板的厚度；
v——板的泊松比。
如果板很薄，厚度h趋于零，则由式(3-13)得
?2?2w(x,y)?q(x,y) (3-14)
上式即为薄板小挠度理论的控制方程，由此可见，中厚板理论同样适用于薄板。
根据明德林中厚板理论的基本假定，采用中面挠度w(x,y)和板中面法线转角?x(x,y)、?y(x,y)作为节点位移，则板的势能泛函为：
TT1????????D????dxdy???(q?p)wdxdy???u??F?ds （3-15）
2 20