2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学参考答案
1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、ln2 8、1 9、2? 10、
16、解：令x?sint，则
?12221?x2cost?2dx?dt?1?. ??4sin2t4x2??z?2z''''''''''?2f1?yf2，17、解：?2(f11?3?f12?x)?f2'?y(f21?3?f22?x) ?x?x?y''''''?6f11?(2x?3y)f12?xyf22?f2'
3 218、解：原方程可化为y?'11?y?2007x，相应的齐次方程y'??y?0的通xx11、
1xdx?2dy12、y''?5y'?6y?0 yy解为y?Cx.可设原方程的通解为y?C(x)x.将其代入方程得
ex?x?1ex?x?1ex?1ex1?lim?lim?lim?. 13、解：lim2x?0xtanxx?0x?0x?022x2x14、解：方程ex?ey?xy，两边对x求导数得ex?ey?y'?y?xy'，故
C'(x)x?C(x)?C(x)?2007x，所以C'(x)?2007，从而
C(x)?2007x?C，故原方程的通解为y?(2007x?C)x. 又y(1)?2008，
所以C?1，于是所求特解为y?(2007x?1)x.
（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）
dyex?y?y'?y. dxe?x19、解：由题意，所求平面的法向量可取为
?dyd2y又当x?0时，y?0，故?1、2??2.
dxx?0dxx?015、解：
2?x2?x2?x?x2?x?xxedx??xd(e)??xe?2xedx??xe?2xd(e) ????ij1k1?(2,1,?3).
n?(1,1,1)?(2,?1,1)?12?11故所求平面方程为
2(x?1)?(y?2)?3(x?3)?0，即
??x2e?x?2xe?x?2e?x?C.
11
2x?y?3z?5?0.
20、解：
?于是，当0?x?1时，F(x)?F(1)?0，即lnx?2cos???Dx2?y2dxdy????2d?d???2d??D01220816?2d???2cos3?d??.
309?x?12，又x?1?0，故x?1(x2?1)lnx?(x?1)2；
当x?1时，F(x)?F(1)?0，即lnx?8?21、解：（1）V???(1?x)dx?；
015（2）由题意得
x?12，又x?1?0，故x?1?a0(1?y)dy??(1?y)dy. 由此得(1?a)?1??(1?a). 解
a121123232(x2?1)lnx?(x?1)2.
综上所述，当x?0时，总有(x2?1)lnx?(x?1)2.
得a?1?().
22、解：f(x)?3ax?2bx?c，f(x)?6ax?2b.
'2''1413
由题意得f'(?1)?0、f''(1)?0、f(1)?2，解得a??1、b?3、c?9
?a?y?b?a?x?b23、证明：积分域D：?，积分域又可表示成D：?
y?x?ba?y?x??
bbbxbx dyf(x)e2x?ydx?dxf(x)e2x?ydy?f(x)e2xdxe2ydy ayaaaa
bb ?f(x)e2x(ex?ea)dx?(e3x?e2x?a)f(x)dx. aa x?1
24、证明：令F(x)?lnx?，显然，F(x)在?0,???上连续. 由于
x?1
x2?1'F(x)??0，故F(x)在?0,???上单调递增， 2????????x(x?1) 12
2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、设函数f(x)在(??,??)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 A、y??f(x) B、y?x3f(x4) C、y??f(?x)
D、y?f(x)?f(?x)
2、设函数f(x)可导，则下列式子中正确的是
A、
limf(0)?f(x)f(x0?2x)?fx?0x??f'(0) B、lim(x)x?0x?f'(x0)
C、
limf(x0??x)?f(x0??x)?x?f'(x0)
?x?0D、
limf(x0??x)?f(x0??x)?x?0?x?2f'(x0)
3、设函数f(x)??122xtsintdt，则f'(x)等于
A、4x2sin2x B、8x2sin2x C、?4x2sin2x D、?8x2sin2x
????4、设向量a?(1,2,3)，b?(3,2,4)，则a?b等于
A、（2，5，4） B、（2，－5，－4） C、（2，5，－4） D、（－2，－5，4）
5、函数z?lnyx在点（2，2）处的全微分dz为 A、?12dx?12dy B、1111112dx?2dy C、2dx?2dy D、?2dx?2dy
6、微分方程y''?3y'?2y?1的通解为 A、y?c2x11e?x?c2e?2x?1 B、y?cx1e??c2e??2 C、y?c1ex?c2e?2x?1
D、y?cx?2x1e?c2e?12 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、设函数f(x)?x2?1x(x?1)，则其第一类间断点为 . a?x,x?0,8、设函数f(x)??tan3x在点x?0处连续，则a＝ x,x?0, . 9、已知曲线y?2x3?3x2?4x?5，则其拐点为 . 10、设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)?12，则不定积分?f(x)dx＝ .
13
11、定积分
2?sinx??11?x2dx的值为 .
120、求微分方程xy,?2y?x2的通解.
xn12、幂函数?的收敛域为 . nn?2n?1?四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线y?三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：lim(x??1(x?0)的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此xx?23x) x最小值.
14、设函数y?y(x)由参数方程??x?t?sint,dydy,2 求t?2n?,n?Z所决定，
dxdx?y?1?cost,222、设平面图形由曲线y?x2，y?2x2与直线x?1所围成.
15、求不定积分：
1x?x?1dx.
x3（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数a，使直线x?a将该平面图形分成面积相等的两部分.
16、求定积分：
?e0dx.
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
17、设平面?经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面?垂直的直线方程.
23、设函数f(x)在闭区间?0,2a?(a?0)上连续，且f(0)?f(2a)?f(a)，证明：在开区间(0,a)上至少存在一点?，使得f(?)?f(??a).
y?2z18、设函数z?f(x?y,)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.
x?x?y19、计算二重积分
2??xdxdy，其中D是由曲线y?D1，直线y?x,x?2及y?0x24、对任意实数x，证明不等式：(1?x)e?1.
x所围成的平面区域.
14
2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学参考答案
1—6 B、A、D、C、A、B 7、0 8、3 9、（2，17）
10、?cosx?12x?c 11、? 12、??2.2?
x13、limx?2)3x2?6x??(x?limx??(1?2x)3x?lim2，令x??(1?x)y??x2，那么 limx?2x??(x)3x?lim?(1?11y)?y?6x??e6.
14、y‘(t)?sint，x’(t)?1?cost，y‘’(t)?cost，x‘’(t)?sint.
dyy’(t)sint2，，，，‘’dx?dyy(t)x?(t)?y(t)x(t)?1x，(t)?1?cost，dx2?x‘(t)?3?(1?cost)2.
15、?x3x3x?1dx???1x?1dx??d(x?1)x?1dx??(x2?x?1)dx?lnx?1?Cx3x2?3?2?x?lnx?1?C. 16
1111111?1x21x22211x222111x222x21111x220edx??0ed(x)?2?0e?xdx?2?0ede?2(xe0??0edx)11＝2e?2?1x1220edx?2e?2ex210?2e?2e?2?2.
?，?17、由题意得：AB?(－23，0)，AC?(?2,0,5)，那么法向量为 ?n?AB?AC???30－2－2?2?2????(15,10,6).?05，－05，30? ??zy218、，?x?f‘1?xf，2.?z?x?y?f，11＋12f，，y‘’1’212－x2(f21?xf‘22) ＝f，，?1xf‘’y’y‘’12－x2f‘21?x3f22 19、
??2?1x1xdxdy22x2D?0dx?0xdy??1dx?0xdy ??1320xdx???x41?x221xdx4021?14?32?74 20、积分因子为?(x)?e??2xdx?elnx?2?1x2. 化简原方程xy，?2y?x2为
dydx?2yx?x. 15
在方程两边同乘以积分因子
1dy2y1??. ，得到23xx2xdxx3?x522、（1）V???(4x?x)dx?0514410?3?. 5d(x?2y)1d(x?2y)1?.等式两边积分得到通解???dx. 化简得：
dxxdxx故通解为y?x2lnx?x2C
（2）由题意得到等式：化简得：
?a0(2x?x)dx??(2x2?x2)dx
a221?a0x2dx??x2dx.
a11131?1a?a?. 解出a，得到：，故21、令F(x,y)??y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)?2，12xx023Fy(x0,y0)??1.
所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：
23、令g(x)?f(x?a)?f(x)，那么g(a)?f(2a)?f(a)，
x?x0y?y0??0. 21x0g(0)?f(a)?f(0).
由于g(a)g(0)?0，并且g(x)在?0，a?上连续.
故存在??(0，a)，使得g(?)?0，即f(?)?f(??a).
x24、将e用泰勒公式展开得到：e?1?x当X＝0时，y轴上的截距为y?1?y0. x02当y＝0时，x轴上的截距为x?x0y0?x0.
11x?x2???? 1!2!12令F(x0,y0)??y0?x0y0?x0，那么即是求F(x0,y0)的最小值.
x0111而F(x0,y0)??x0??x0?2(?x0)?4，故当x0?y0?1时，
x0x0x0取到最小值4.
代入不等式左边：
(1?x)ex?(1?x)(1?
1111x?x2????)?1?x2?x3?????1 1!2!23 16