2x?4?0得，解答过程：由?x??2，即函数的定义域为[?2,??). ??x?3?0
y'?112x?3?2x?4， ??2x?42x?322x?4?x?32x?8， 2x?3?2x?4又2x?3?2x?4??当x??2时，y'?0，
?函数y?2x?4?x?3在(?2,??)上是增函数，而f(?2)??1，?y?2x?4?x?3的值域是[?1,??).
例10．（2006年天津卷）已知函数f?x??4x3?3x2cos??3cos?，其中x?R,?为参数，且
160???2?．
（1）当时cos??0，判断函数f?x?是否有极值；
（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f?x?在区间?2a?1,a?内都是增函数，求实数a的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当cos??0时，f(x)?4x3，则f(x)在(??,??)内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f'(x)?12x2?6xcos?，令f'(x)?0，得x1?0,x2?cos?.
2由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当cos??0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x f'(x) f(x) (??,0) 0 0 极大值 (0,cos? )2cos? 2(cos?,??) 2+ ↗ - ↘ 0 极小值 + ↗ 因此，函数f(x)在x?cos?处取得极小值f(cos?)，且f(cos?)??1cos3??3?
222416.要使f(cos?)?0，必有?1cos?(cos2??3)?0，可得0?cos??3.
2442由于0?cos??3，故?????或3????11?.
26226②当时cos??0，随x的变化，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x 0 cos? cos? cos?(??,)(,0) 2(0,??) 22f'(x) f(x) + 0 极大值 - 0 极小值 + ? ? 16? 因此，函数f(x)在x?0处取得极小值f(0)，且f(0)?3cos?.
若f(0)?0，则cos??0.矛盾.所以当cos??0时，f(x)的极小值不会大于零.
综上，要使函数f(x)在(??,??)内的极小值大于零，参数?的取值范围为(?,?)?(3?,11?).
6226（III）解：由（II）知，函数f(x)在区间(??,??)与(cos?,??)内都是增函数。
2由题设，函数f(x)在(2a?1,a)内是增函数，则a须满足不等式组
2a?1?a a?0 或
2a?1?a 12a?1?cos?26由（II），参数时??(?,?)?(3?,11?)时，0?cos??3.要使不等式2a?1?1cos?关于参数?62222恒成立，必有2a?1?3，即4?3?a.
48综上，解得a?0或4?3?a?1.
8所以a的取值范围是(??,0)?[4?3,1).
8例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1(a??1),
x?1（1）当?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， （2）当a?0时，由f'(x)?0,解得x?1.
af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表
x f'(x) f(x) 1(?1,) a1 a1(,??) a— 0 极小值 + ? ? 从上表可知
当x?(?1,1)时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,1)上单调递减.
aa当x?(1,??)时，f'(x)?0,函数f(x)在(1,??)上单调递增.
aa综上所述：当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.
当a?0时，函数f(x)在(?1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,??)上单调递增.
aa例12．（2006年北京卷）已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在???,1?上上f'?x??0,
故f(x)在上递增，在(1,2)上递减， （-?，1），（2，+?）因此f?x?在x?1处取得极大值，所以x0?1 （Ⅱ）f'(x)?3ax2?2bx?c,
'由f（ 1）=0，（f'2）＝0，（f'1）＝5，得?12a?4b?c?0,
??a?b?c?5,??3a?2b?c?0,,2?上f'?x??0，在?2,???f'?x??0，在?1解得a?2,b??9,c?12.
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设f'(x)?m(x?1)(x?2)?mx2?3mx?2m, 又f'(x)?3ax2?2bx?c, 所以a?m,b??3m,c?2m
32f(x)?m332|x?mx?2mx, 3232由f(1)?5，即m?3m?2m?5,得m?6,
所以a?2,b??9,c?12 例13．（2006年湖北卷）设x?3是函数f?x???x2?ax?b?e3?x?x?R?的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间；
25?x2（Ⅱ）设a?0，g?x????a??e.若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1成立，求a的取值范
?4?围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3x,
－由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e33＝0，即得b＝－3－2a，
－则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3
－－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3x＝－(x－3)(x＋a+1)e3x.
－令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e1>0，f (3)＝a＋6，
－那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又g(x)?(a2?25)ex在区间[0，4]上是增函数，
4且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋25，（a2＋25）e4]，
44由于（a2＋25）－（a＋6）＝a2－a＋1＝（a?1）2≥0，所以只须仅须
442（a2＋25）－（a＋6）<1且a>0，解得0
42故a的取值范围是（0，3）.
2例14 （2007年全国二） 已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1 3在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且0?x1?1?x2?2． （1）证明a?0；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．
（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．
2所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)
当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．
?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．
?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．
?4a?5b?2?0?4a?5b?2?0．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)．
?46??77?b
z在这三点的值依次为
所以z的取值范围为?16，6，8． 7?16?，8?． 7??2 1 O
B(2，2)
?46?A?，??77?
C(4，2)
小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合．
考点4 导数的实际应用
2 4
a
建立函数模型,利用 典型例题
例15. （2007年重庆文）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
18?12x3??h??4.5?3x(m)?0＜x＜?.
42??故长方体的体积为
V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜).
2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.