当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地相距100千米. 12800080（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了100?2.5小时，
40要耗没(13?403??40?8)?2.5?17.5（升）. 12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升，依
x题意得h(x)?(
131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 12800080x1280x4x800x3?803h'(x)???(0?x?120).
640x2640x2令h'(x)?0,得x?80.
当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数. 当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练与高考预测】 一、选择题
1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 2.经过原点且与曲线y=x?9相切的方程是( )
x?5A.x+y=0或x+y=0
25
B.x－y=0或x+y=0
25C.x+y=0或x－y=0
25D.x－y=0或x－y=0
253.设f(x)可导，且f′(0)=0,又limf?(x)=－1,则f(0)( )
x?0xA.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值 C.一定是f(x)的极小值 D.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( )
A.0 B.1
C.(1?2)n
2?nD.4(n)n?1
n?25、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、10 B、13 C、16 D、19
33337.过抛物线y=x上的点M（1,1）的切线的倾斜角是( )
A、30 B、45 C、600 D、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，1）
20
0
2
249.函数y=x-3x+3在[?3,5]上的最小值是( )
223
A、 89 B、1
3
8C、33 D、5
810、若f(x)=x+ax+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）
543
12、方程6x-15x+10x+1=0的实数解的集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题
13.若f′(x0)=2,limf(x0?k)?f(x0) =_________.
k?02
2k14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题
17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y=3x.
1?x21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s?的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.
－
22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn1?,(x≠0,n∈N*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba. 26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=4x?a.
x2?1(1)求f(α)·f(β)的值；
(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？
【参考答案】
一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1. 答案：B
2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=y0,另一方面，y′=(x?9)′=?4x0x?5(x?5)2,故
y′(x0)=k,即
y0x0?9?4??(x0?5)2x0x0(x0?5)5或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有
?4(?3?5)3y0(1)=3,y0(2)=?15?9?3,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,3),从而得y′(A)=
?15?55 =－1
及y′(B)= 答案：A
?41?? 225(?15?5),由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－x.
253.解析：由limf?(0)=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时
x?0xf?(0)＜0,于是当x∈(a,0)
x
时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案：B
4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1?=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=2,易知fn(x)在x=2时取得最大值，最大值fn(2)=n2(2)2(1－
2?n2?n2?n2?n2)n=4·(2)n+1?. 2?n2?n答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=limf[(x0?(?k)]?f(x0)(这时?x??k)
k?0?k?limf(x0?k)?f(x0)1f(x0?k)?f(x0)?lim[??]k?0k?02k2?k 1f(x0?k)?f(x0)1??lim??f?(x0)??1.2k?0?k2答案：－1
14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！ 答案：n!
15.解析：函数的定义域是x＞1或x＜－2,f′(x)=
3logae.(3x2+5x－2)′=(6x?5)?logae,
(3x?1)(x?2)3x2?5x?2①若a＞1,则当x＞1时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(1,+∞)
33上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.
②若0＜a＜1,则当x＞1时，f′(x)＜0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数，当x＜－2时，
33f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+R2?x2,解得
x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=(2Rh?h2)?h?(2Rh3?h4), 从而S??1(2Rh3?h4)?2(2Rh3?h4)?
2?1h2(3R?2h)
?(2Rh3?h4)2(6Rh2?4h3)?2(2R?h)h3.
11令S′=0,解得h=3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：?
2h S′ S 2(0, 3R) 23R 2(3,2R) 2+ 0 － 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大. 答案：3R
2三、17. 解：由l过原点，知k=y0(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,
x0∴y0=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
x0又k=y0,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=3.
x02由x≠0,知x0=3,
22∴y0=(3)3－3(3)2+2·3=－3.∴k=y0=－1.
228x04∴l方程y=－1x 切点(3，－3).
42818.f'(x)?p2x(1?x)p?1[2?(2?p)x] ,
2 , 2?p在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f(2)?4(p)p?2
2?p2?p∴ [f(x)]max?4(p)2?p .
2?p令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=
.
19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,
2 k?y|x?x??a ,
0x02∴ 切线方程y?y0??a2x02(x?x0)
,
令y=0，则x=2x0
2令x=0，则y?2a .
x0∴ S?1|x||y|?2a2 .
220.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得 lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,
1(x2?2x?3)?2x?22(x2?x?2)???y?2?2?2?2?2yx?2x?3x?2x?3x?2x?3.?y??2(x2?x?2)2(x2?x?2)?y?2?(x2?2x?3)?e2x.2x?2x?3x?2x?3?2(x2?x?2)?e2x.
(2)两端取对数，得 ln|y|=1(ln|x|－ln|1－x|),
3两边解x求导，得
111?111?y??(?)?,y3x1?x3x(1?x)111x3?y????y?.3x(1?x)3x(1?x)1?x
21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－25?9t2,当下端移开1.4 m时，t0=1?4?7,
315?1又s′=－ (25－9t2)2·(－9·2t)=9t
21125?9t2,
所以s′(t0)=9×715?125?9?(72)15=0.875(m/s).
22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=1n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1
6nn?1?=1?(n?1)x?nx,两边同乘以x,得
(1?x)2x+2x2+3x2+…+nxn=x?(n?1)xn?12?nxn?2两边对x求导，得
(1?x)Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1?
2n2n?12n?2=1?x?(n?1)x?(2n?2n?1)x?nx.
(1?x)323.解：f′(x)=3ax2+1.
若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾. 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+
13|a|)·(x－
13|a|13|a|),此时f(x)恰有三个单调区间.
13|a|∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，
单调增区间为(－
13|a|,
13|a|).
24.解：f′(x)=a+2bx+1,
x(1) 由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且a+4b+1=0,
2解方程组可得a=－2,b=－1,∴f(x)=－2lnx－1x2+x,
3636(2)f′(x)=－2x-1－1x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)
33时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值5,在x=2处函数取得极大值4－2ln2.
63325.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则 f′(b)=lna－a.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且a＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上
bb是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b),即证(x)=1?lnx＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
x2,设f(x)=lnx(x＞e)，则f′
x∴f(a)＞f(b),即lna?lnb,∴ab＞ba.
ab26.解：(1)f(α)=
2?8a?16?a,f(β)=
2?8a?16?a,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,
f?(x)?(4x?a)?(x2?1)?(4x?a)(x2?1)?4(x2?1)?2x(4x?a)
?(x2?1)2(x2?1)22(2x2?ax?2)2?(x)????2?0 22(x?1)(x?1)2.
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.