第1讲 集合的概念与运算
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} C．{1,3} 答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B. ∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x，|x|≤1}，则( ) A．M＝N C．N?M 答案 C
解析 M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x，|x|≤1}＝[0,1]，所以N?M.故选C. 3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为
2
2
2
2
2
B．{1,0} D．{1,5}
B．M?N D．M∩N＝?
B，则A∩B＝( )
A．(1,2) C．(－2,1) 答案 D
解析 ∵4－x≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]． ∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)． 故选D.
4．已知集合A＝{x|x≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( ) A．(－∞，－2) C．[－2,2] 答案 D
解析 因为A∪B＝A，所以B?A，即m∈A，得m≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D. 5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 C．1 答案 B
解析 集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线
B．2 D．0
2
22
2
2
B．(1,2] D．[－2,1)
B．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
y＝x上的所有点的集合．
由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
6．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 1 2 A．1 C．3 答案 D B．2 D．4 解析 集合B＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A＝{1,2}，则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即2＝4. 7.[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝{x∈Z|中阴影部分表示的集合为( ) 2 x3－x≥0}，B＝{x∈Z|x≤9}，则图 2 A．{1,2} C．{x|0≤x<3} 答案 B 解析 题图中阴影部分表示的是A∩B，因为A＝{x∈Z| ??xx－? ?x－3≠0? B．{0,1,2} D．{x|0≤x≤3} xx－3 ≤0}＝{x∈Z| ， }＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1， 0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选B. 8．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x 解析 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1. ???x－m9．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝?x∈R? ?x－2?? ?? <0?，且?? A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 答案 －1 1 解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5 则B＝{x|m 2 10．设m，n∈R，集合{1，m，m＋n}＝?0，n，?，则m－n＝________. ? ? n?m? 答案 －2 解析 ∵{1，m，m＋n}＝?0，n，?且m≠0， ?? n?m? ∴m＋n＝0, 即m＝－n，于是＝－1. ∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，∴m－n＝－2. [B级 知能提升] nm?1?x1．已知集合A＝{y|y＝??，x∈R}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( ) ?2? A．A∩B＝{－2，－1} C．A∪B＝(0，＋∞) 答案 D 解析 因为A＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(?RA)∪B＝{y|y≤0或y＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y＝－1，－2}，(?RA)∩B＝{－1，－2}．所以D正确． 2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( ) A．(－∞，2) C．(2，＋∞) 答案 B ??a≥1， 解析 集合A讨论后利用数轴可知? ?a－1≤1? B．(?RA)∪B＝(－∞，0) D．(?RA)∩B＝{－2，－1} B．(－∞，2] D．[2，＋∞) ??a≤1， 或? ?a－1≤a.? 解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B. 3．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1 ajj(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( ) aiA．{1,3,4}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 答案 B 4 解析 由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3， 3661236aj，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，231236ai故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误． 4．已知集合A＝{x∈R|x－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}． (1)求实数a，b，c的值； (2)设集合P＝{x∈R|ax＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z. 解 (1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以3＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x 2 2 22 2 B．{1,2,3,6}为“权集” D．“权集”中一定有元素1 3 －8x＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8. (2)不等式ax＋bx＋c≤7即6x＋9x－8≤7， 所以2x＋3x－5≤0， 5 所以－≤x≤1， 25 所以P＝{x|－≤x≤1}， 2 5 所以P∩Z＝{x|－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}． 2 5．[2018·南宁段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x－3x≤10}． (1)若a＝3，求(?RP)∩Q； (2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围． 解 (1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}， ?RP＝{x|x<4或x>7}． 又Q＝{x|x－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(?RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}． (2)当P≠?时，由P∪Q＝Q得P?Q， 2 2 2 2 2 2 a＋1≥－2，?? 所以?2a＋1≤5， ??2a＋1≥a＋1， 解得0≤a≤2； 当P＝?，即2a＋1 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1．[2018·江西模拟]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B 解析 当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B. 2．下列命题是真命题的为( ) 11 A．若＝，则x＝y 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x 2 2 2 C．若x＝y，则x＝y 答案 A 4 解析 取x＝y＝－1，排除B，C；取x＝－2，y＝－1，排除D.故选A. 3．[2018·天津模拟]设x∈R，则“|x－2|<1”是“x＋x－2>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 解析 |x－2|<1?－1 4．下列结论错误的是( ) A．命题“若x－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x－3x－4≠0” B．“x＝4”是“x－3x－4＝0”的充分条件 C．命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 D．命题“若m＋n＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m＋n≠0，则m≠0或n≠0” 答案 C 解析 C项命题的逆命题为“若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，1 则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0，所以不是真命题． 4 5．[2018·长春模拟]设a，b∈R，则“(a－b)a<0”是“a 解析 若“(a－b)a<0”，则“a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 －∞， B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 a＝0时不成立，是假命题．故选A. 6．[2018·安徽模拟]设条件p：a＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 解析 条件p：a＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故条件p：a＋a≠0是条件q：a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决． 11 7．设a，b∈R，若p：a 2 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 baA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11 解析 若p：－1<1，则p?/q；若q：<<0，则a ba分条件．故选B. 8．若“x－2x－8>0”是“x 解析 不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是(－∞，－2)∪(4，＋∞)的真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2. 5 2