C．f(－1)＝f(3) 答案 A
D．f(0)＝f(3)
解析 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，得f(－1) 3．如果二次函数f(x)＝3x＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A．a＝－2 C．a≤－2 答案 C 解析 二次函数的对称轴方程为x＝－ B．a＝2 D．a≥2 2 a－1 3 ，由题意知－a－1 3 ≥1，即a≤－2. 4．[2018·信阳模拟]已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( ) A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b) 解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选A. 5．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－1) C．(－1,0) 答案 D 解析 由题意得m＋1>－m＋1，故m＋m>0，故m<－1或m>0. 6．[2018·海南模拟]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( ) A．[1,2] C．[0,2] 答案 A B．[－1,0] D．[2，＋∞) 2 2 2 B．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析 f(x)＝|x－2|x ??x－2x，x≥2，＝?2 ?－x＋2x，x<2.? 2 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 16 ?1?x2－3x＋1的单调递增区间为( ) 7．[2018·深圳模拟]函数y＝??2 ?3? A．(1，＋∞) 3??B.?－∞，? 4?? ?1?C.?，＋∞? ?2? 答案 B ?3?D.?，＋∞? ?4? 3?213?21?3???x－x－－∞，解析 令u＝2x－3x＋1＝2??－.因为u＝2?4?－8在??上单调递减， 4??4?8??? 2 3??1?u?1?2?函数y＝??在R上单调递减．所以y＝??2x－3x＋1在?－∞，?上单调递增，即该函数的 4??3??3??3??单调递增区间为?－∞，?. 4?? 8．[2018·苏州模拟]若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________. 答案 －6 解析 由 a－2x－a，x<－，??2 f(x)＝?a2x＋a，x≥－，??2 可得函数f(x)的单调递增区间为 ?－a，＋∞?，故3＝－a，解得a＝－6. ?2?2?? 9．函数f(x)＝答案 6 解析 易知f(x)在[a，b]上为减函数， 11 在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x－13 fa＝1，?? ∴?1 fb＝，?3? 1 ??a－1＝1，即?11 ＝??b－13， －y??a＝2， ∴? ?b＝4，? ∴a＋b＝6. 10．[2018·湖南模拟]函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________． 1 答案 4 11?1?212 解析 令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t＝－?t－?＋，所以，当t＝，即x＝时，24?2?4 ymax＝. [B级 知能提升] 1．[2018·安徽合肥模拟]若2＋5≤2＋5，则有( ) A．x＋y≥0 C．x－y≤0 xy－x1 4 B．x＋y≤0 D．x－y≥0 17 答案 B 解析 设函数f(x)＝2－5，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－5，由已知得 x－x－yyf(x)≤f(－y)， ∴x≤－y，∴x＋y≤0. 2．[2018·郑州质检]函数f(x)＝x＋x－6的单调增区间是( ) A．(－∞，－3) C．[0,2) 答案 B 解析 ∵x＋x－6≥0，∴x≥2或x≤－3，又∵y＝x＋x－6是由y＝t，t∈[0，＋∞)和t＝x＋x－6，x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)两个函数复合而成，而函数t＝x＋x－6在[2，＋∞)上是增函数，y＝t在[0，＋∞)上是增函数，又因为y＝x＋x－6的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，所以y＝x＋x－6的单调增区间是[2，＋∞)．故选B. 3．已知函数f(x)＝x－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝区间(0，＋∞)上一定( ) A．有最小值 C．是减函数 答案 A 解析 ∵f(x)＝x－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，∴a>0. ∴g(x)＝＝3. ∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值． 1 4．[2018·四川模拟]已知函数f(x)＝a－. |x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 1 解 (1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．[2，＋∞) D．[－3,2] fx在xB．有最大值 D．是增函数 fxa＝x＋－2a在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)xxx设0 f(x2)－f(x1)＝?a－?－?a－?＝－ ?x2??x1?x1x2 ＝ ? 1??1?11 x2－x1 >0， x1x2 ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 1 (2)由题意，a－<2x在(1，＋∞)上恒成立， x1 设h(x)＝2x＋，则a x任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1 18 h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)?2－?. ?x1x2? ∵1 ? 1? x1x2 >0，∴h(x1) ∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝3， a≤h(x)在(1，＋∞)上恒成立， 故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]． 5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时， x?x1??2? f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x1＝x2>0， 代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，故f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2， 则>1，由于当x>1时，f(x)<0， 所以f??<0，即f(x1)－f(x2)<0， x因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． x1x2 ?x1??2? ?x1??9?由f??＝f(x1)－f(x2)，得f??＝f(9)－f(3)， x3 ?2? ?? 而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2. 第3讲 函数的奇偶性与周期性 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1．[2018·合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x C．y＝－x＋1 答案 B 解析 因为y＝x是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x＋1，y＝2误；又因为y＝－x＋1，y＝2 2 －|x| 3 2 －|x| 23 B．y＝|x|＋1 D．y＝2 －|x| 均为偶函数，所以A错 ?1?|x| ＝??在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，?2? 19 ＋∞)上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确． 2．[2018·南宁模拟]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 C．|f(x)|g(x)是奇函数 答案 B 解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数．故选B. 3．[2017·齐鲁名校模拟]已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋m，则f(－2)＝( ) A．－3 5C. 4答案 A 解析 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝2＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝－3. 2 0 B．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 x5B．－ 4D．3 ?5?4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f??成立的?3? x的取值范围是( ) ?14?A.?－，? ?33??14?C.?，? ?33? 答案 B ?14?B.?－，? ?33??14?D.?，? ?33? 解析 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单5514?5?调递增，若f(2x－1)>f??，则－<2x－1<，解得－ 5．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) C．－x(1＋x) 答案 B 解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ B．x(1－x) D．x(1＋x) x(1－x)． 6．[2018·贵阳模拟]已知函数f(x)＝x＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A．3 C．－1 答案 B 解析 设F(x)＝f(x)－1＝x＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以 20 3 3 B．0 D．－2