点评： 本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数形结合和分类讨论思想，属难题 14．（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m﹣1）x+y+n=0，l1经过（﹣1，﹣1），问l1∥l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由． （理科做）△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y﹣16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x﹣3y+1=0，求AC的长．
考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标． 专题： 计算题． 分析： （文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0，当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0．由此能247054求出m，n的值． （理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0，则AB斜率k=，直线AB：y﹣4=（x﹣3）．与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）．设C（m，n），C在直线CE：2x+3y﹣16=0上，则2m+3n﹣16=0，由此能得到C（5，2），从而求出AC的长． 解答： 解：（文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0， 当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0． ﹣（1﹣m）=﹣1， 联立解得m=2或者m=﹣2． 当m=2时，n=﹣2， 当m=﹣2时，n=﹣6． （理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0， 则AB斜率k=， 直线AB：y﹣4=（x﹣3） 3x﹣2y﹣1=0 与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）． 设C（m，n）， C在直线CE：2x+3y﹣16=0上， 则2m+3n﹣16=0， BC中点D（，）在直线AD：2x﹣3y+1=0上， 3+m﹣（4+n）+1=0， 解方程组得C（5，2）． ∴AC==． 点评： 本题考查两直线平行的关系和条件的应用，考查直线的交点坐标和两点间距离公式，解题时要认真审题，仔细解答．
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15．已知点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标． 考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 计算题． 2400745分析： 点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，只需把A对称到两条直线的另一侧，A1A连线与两条直线的交点就是所求的点M、N的坐标，如图． 解答： 解：如图，A（3，1）关于y=x的对称点A1（1，3），A（3，1）关于y=0 的对称点A2（3，﹣1），△AMN的周长最小值为|A1A2|， |A1A2|=2，A1A2的方程：2x+y﹣5=0． A1A2与x﹣y=0的交点为M， 由?M（，）， A1A2与y=0的交点N， 由?N（，0）． 点评： 本题考查两条直线的交点坐标，对称知识，考查计算能力，是基础题． 16．求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 考点： 过两条直线交点的直线系方程． 专题： 计算题． 2400745分析： 直线方程即 λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x+y﹣1=0和﹣x+3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 解答： 证明：直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0 即 λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0， 根据λ的任意性可得 ，解得 ， ∴不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点（2，﹣3）． 点评： 本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的 交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．
17．一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（﹣1，6），求入射光线所在直线方
程．
考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程． 247054专题： 数形结合． 分析： 设入射光线与x轴的交点为P（x，0），由kMP=﹣kNP ，解出P的坐标，可求得直线MP的斜率，用点斜式写直线MP的方程． 解答： 解：设入射光线与x轴的交点为P（x，0）， 则直线MP的倾斜角与直线NP的倾斜角互补， 则kMP=﹣kNP ，（3分）∴∴x=0，即P（1，0），（6分）∴， ， ∴直线MP的方程为y﹣0=3（x﹣1），即 3x﹣y﹣3=0．（10分） 点评： 本题考查用点斜式求直线方程的方法，体现了数形结合的数学思想． 18．已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P． （1）使|PA|+|PB|最小； （2）使|PA|﹣|PB|最大． 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程． 专题： 计算题；综合题． 247054分析： 先判断A、B与直线l：x+2y﹣2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y﹣2，看符号相同在同侧，相反异侧． （1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P； 如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可． （2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可； 如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P． 解答： 解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）． 则有解得 x1=﹣， 13 / 17
+2?﹣2=0，?（﹣）=﹣1． y1=﹣． 由两点式求得直线A1B的方程为y=（x﹣4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，﹣）． 由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小． （2）由两点式求得直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0． 直线AB与l的交点可求得为P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大． 点评： 本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．
19．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0， 求（1）
的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值； （3）
的最大值和最小值．
考点： 两点间距离公式的应用；三角函数的最值；斜率的计算公式． 专题： 数形结合． 247054分析： （1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径， 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大． （2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值， 一个最大，另一个最小． （3）= 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2， 最小值是|CB|减去半径2． 解答： 解：x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4， 表示一个以C（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图： （1） 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y﹣0=k（x﹣4）， 即 kx﹣y﹣4k=0，由 2=，k=0 或﹣20， 结合图形知， 的最大值为0，最小值为﹣20． （2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距， 当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=故 2x+y的最大值为 2（3）=，最小值为﹣2． 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度， ， ﹣2． ，∴t=±2， 圆心C（﹣1，2）到点B（1，0）的长度是 2∴ 的最大值2+2，最小值为 2
点评： 本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
20．已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由． 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 计算题． 2400745分析： 求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C到AB的距离和面积，求出C的坐标． 解答： 解：AB=直线AB的方程为即2x+5y﹣22=0， 假设在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C， 使得三角形ABC的面积等于14， 设C的坐标为（m，n），则一方面有m﹣3n+3=0①， 另一方面点C到直线AB的距离为由于三角形ABC的面积等于14， 则|2m+5n﹣22|=28， 即2m+5n=50②或2m+5n=﹣6③． 联立①②解得，； ， ， ， ， 联立①③解得m=﹣3，n=0． 综上，在直线x﹣3y+3=0上存在点C或（﹣3，0），使得三角形ABC的面积等于14． 点评： 本题考查点到直线的距离，考查计算能力，是基础题．
21．设x﹣y+1=0，求 考点到直线的距离公式． 点： 2400745的最小值．
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