概率论与数理统计及其应用习题解答
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为
P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)
?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
1 3 4 第20题 5 2 ?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)
?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5 ?p?2p2?2p3?p4?p5
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得
P(A|B)?
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)11
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又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C|A)?0.9，所以
P(B|A)?C32?0.82?(1?0.8)?0.384；P(B|A)?C32?(1?0.9)2?0.9?0.027
故，
P(A|B)?P(A)P(B|A)0.4?0.3840.1536???0.9046P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.4?0.384?0.6?0.0270.1698
（第1章习题解答完毕）
第2章 随机变量及其分布
1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k?1个人都不是A型血，因此有
P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}
?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
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?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，
类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，
P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为
X P{X?k} 0 0.072 1 0.512 2 0.416 A 2 1 B 3
3,据信有20%的美国人没有任何健康保
险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。
3312（1）P(X?3)?C15?0.2?0.8?0.2501,
（2）P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；
（3）P(1?X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129； （4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)
?P(X?1)?P(X?0)?0.0611
4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件
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的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
?P(X?k)??Ck?3k?355k5?0.9k?0.15?k?0.99144
5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?k
k?066(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8?????0.3134（查表得）。
k!k!k?0k?06
6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X?15} （2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X?0}?0.5，求P{X?2}。 解：（1）P{X?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；
（2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以
P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e???(1?ln2)/2?0.1534。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一
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个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。
解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X~?(2)。 （1）P{X?0}?e?2?0.1353；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
P{Y?4}?C540.13534?(1?0.1353)?0.00145。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
?2ke?2???k!k?0?????32ke?10?????????k!?5? k?0???5
8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概
?kx2率密度为f(x)???014120?x?1其他， （1）确定k；（2）求P{X?}；（3）
2313求P{?X?}；（4）求P{X?}。
??1解：（1）根据1???1/3?f(x)dx??kx2dx?03k，得到k?3； 311?1（2）P{X?}??3x2dx??； ???327?3?0111??1?7（3）P{?X?}??3x2dx??； ??????421/42464????22?19（4）P{X?}??3x2dx?1??。 ???327?3?2/3
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