概率论与数理统计及其应用习题解答
?0.003x29，设随机变量X的概率密度为f(x)???0t2?2Xt?5X?4?0有实根的概率。
0?x?10其他，求t的方程
解：方程t2?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即
X2?5X?4?0，从而要求X?4或者X?1。因为
110P{X?1}??0.003x2dx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936
04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
?x?xf(x)???100e2/200x?0??0其他
（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；
（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
1解：（1）P{X?1}??xe?x2/200dx?1?e?1/200?0.00498；0100 ??（2）P{X?52}?xe?x2/200dx?e?2704/200?0.000001； 52?100??xe?x2/200（3）P{X?26X?20}?P{X?26}26?100dx/200P{X?20}???x?e?276?0.25158。20?100e?x2/200dx
11，设实验室的温度X（以?C计）为随机变量，其概率密度为
16
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9
其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学
反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生
时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。 （3） 求P{Y?2}，P{X?2}。 解：（1）P{X?1}??(4?x2)dx?（2）根据题意Y~B(10,19125； 275)，所以其分布律为 27k10?k?5??22?kP(Y?k)?C10???????27??27?28,k?0,1,2,?10
?5??22?2（3） P(Y?2)?C10???????0.2998，
?27??27?P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。
12，（1）设随机变量Y的概率密度为
?0.2?f(y)??0.2?Cy?0??1?y?00?y?1 其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。 （2）设随机变量X的概率密度为
17
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1/80?x?2?f(x)??x/82?x?4
?0其他?求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。
??01解：（1）根据1????f(y)dy??0.2dy??(0.2?Cy)dy?0.4??10C，得到C?1.2。 20?y??1y?0.2dy???1?y?0?1?yy?0F(y)??f(y)dy?? 0.2dy??(0.2?1.2y)dy?????10?y?10?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy??y?1?0??10y??1??0.2(y?1)?1?y?0??? 20.6y?0.2y?0.20?y?1??1y?1?P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25； P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106
P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.2260?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?x/80?x?2?21x??2（2）F(x)??f(x)dx??dx?dx
x/162?x?4?????882?x?4?02??24x?4?11x?dx?dx??x?4?882?0P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16； P{X?1|X?3}?P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。
P{X?3}F(3)
13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽
18
概率论与数理统计及其应用习题解答
样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
P{X?i,Y?j}?1，（i?j，且1?i,j?n） n(n?1)当n取3时， P{X?i,Y?j}?,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为
X 1 2 3 Y 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 1614,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
X 0 1 2 Y 0 0.10 0.04 0.02 1 0.08 0.20 0.06 2 0.06 0.14 0.30 （1） 求P{X?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}； （2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。
解：（1）由表直接可得P{X?1,Y?1}=0.2，
19
概率论与数理统计及其应用习题解答
P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9
（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6
P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0 f(x,y)??其他0，?试确定常数C，并求P{X?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。 解：根据
1?x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得
?????(2x?4y)?????2xx?0,y?0??f(x,y)dxdy??dx?Ce00dy?C?e0dx?e?4ydy?0C， 8所以C?8。
?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??x?ydy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；
0x???4yP{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8e001?(2x?4y)dy??2e0?2xdx?4e0?2xdy??2e?2x(1?e?4x)dx?0231?x?(2x?4y)11?xP{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e0 dx?4e?4ydy?(1?e?2)2。
0
16，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。
（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
20