概率论与数理统计及其应用习题解答
1???G?6,(x,y)?G1。 f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?f(x,y)，得到f(x,y)??60，其他?0x2/221x2?x????6dy?3x2，0?x?1（2）fX(x)??f(x,y)dy??x2/2；
???0,其他??2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1
???y?0，其他??0，其他???
18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为
?x3?x(1?y)x?0,y?0?，f(x,y)??2e，
其他?0，?（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)；
（2） 求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度； （3） 求条件概率P{Y?1|X?0.5}。
???x3?x(1?y)x2?xedy?e,x?0?解：（1）fX(x)??f(x,y)dy??。 ?022???0,其他???（2）当x?0时，
f(x,y)?xe?xy,y?0fY|X(y|x)???。
fX(x)?0,其他特别地，当x?0.5时
?0.5e?0.5y,y?0fY|X(y|x?0.5)??。
其他?0, 21
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????Y|X（3）P{Y?1|X?0.5}?
?f1(y|x?0.5)dy??0.5e?0.5ydy?e?0.5。
119，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。
（2）在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。 解：（1）根据公式P{Y?i|X?0}?下Y的条件分布律为
Y P{Y|X?0} P{Y?i,X?0}，得到在X?0的条件
P{X?0}0 5/12 1 1/3 2 1/4 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为
X P{X|Y?1} 0 4/17 1 10/17 2 3/17 ?6,(x,y)?G（2）因为f(x,y)??。
0，其他?2?6(2y?y)，0?y?0.5?x2??6dy?3x，0?x?1fX(x)??2?；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。 x/2?0,?0，其他其他??2f(x,y)??2,x2/2?y?x2??x所以，当0?x?1时，fY|X(y|x)?； fX(x)?0,其他?1?,f(x,y)?当0?y?0.5时，fX|Y(x|y)???2y?yfY(y)?0,?y?x?2y其他；
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?1,f(x,y)?当0.5?y?1时，fX|Y(x|y)???1?yfY(y)??0,?1,?当y?0.5时，fX|Y(x|y)??1?0.5??0,0.5?x?1其他y?x?1其他；
。
20，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3） 求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。 解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?G0x2???3,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。 3?0，其他?x??3dy?3(x?x2)，0?x?1（2）fX(x)??f(x,y)dy??x2；
???0,其他??y??3dx，0?y?1?3(y?y2)，0?y?1?y2????fY(y)??f(x,y)dx????。
???0，其他?0，其他?????12,x?y?xf(x,y)???x?x2（3）当0?x?1时，fY|X(y|x)?。 fX(x)?0,其他?特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
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?4,1/4?y?2/2?fY|X(y|0.5)??22?1。
??0,其他
21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?f?2?x，0?x?2X(x)???6
?0,其他且当X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
?fx)??1?xy?,0?y?1Y|X(y|?1?x/2，
?0,其他（1） 求(X,Y)联合概率密度； （2） 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；
（3） 求在Y?y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。
解：（1）?1?xyf(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)???0?x?2,0?y?1?3?0其他；???21?xy（2）f?Y(y)??f(x,y)dx???dx?2(1?y)0?y?1；
???033?0其他（3）当0?y?1时，ff(x,y)?1?xyX|Y(x|y)?f???2(1?y),0?x?2。Y(y)??0,其他
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
Y -1 0 1 p?k 2 1?? ?2
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又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求P{Y1?Y2}。 （2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为 Y1 Y2 -1 0 1 -1 ?2/4 0 ?(1??)/2 (1??)2 1 ?2/4
?(1??)/2 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X 0 1 2 Y 0 0.10 0.04 0.02 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?i} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?j} 0.16 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为
?8y0?y?1/2fY(y)??其他?0
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