概率论与数理统计及其应用习题解答
（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）
的性质，立刻得到
W1~N(250,25)， W2~N(?200,52)， W3~N(125,25) 425)，所以 4?X?Y?/2?125~N(0,1)。 X?Y?250 ~N(0,1)，
55/2242.6?250因此P{X?Y?242.6}??()?1??(1.48)?0.0694，
5（2） 因为 W1~N(250,25)，W3~N(125,P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}
?1????(?55?)??(?)? 2.52.5? ?2?2?(2) ?0.0456
X~N(10,0.22)，10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）
垫圈直径（以mm计）Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。
（2）在（1）中若X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,?2)，问控制?至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
解：（1）根据题意可得X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率为P{X?Y}?P{X?Y?0}?????0?(?0.5)?????(1.77)?0.9616。 0.08??（2）X?Y~N(?0.5,0.04??2)，所以若要控制
?0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04?????0.90??(1.282)， ??即要求
0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348
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概率论与数理统计及其应用习题解答
才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
W~N(1.63,0.0252)，11,设某地区女子的身高（以m计）男子身高（以
m计）M~N(1.73,0.052)。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。
解：（1）因为M?W~N(0.1,0.003125)，所以
P{W?M}?P{M?W?0}??(0?0.10.003125)??(?1.79)?1?0.9633?0.0367；
（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
1.60?1.63P{W?1.60}?1??()??(1.2)?0.8849，
0.025随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布
B(5,0.8849)，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为
5C54?0.88494?(1?0.8849)?C5?0.88495?0.8955
（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W1,?W50，
1500.0252150Wi~N(1.63,)，所以这50名女子的平W??Wi。则W?50?5050i?1i?1均身高达于1.60的概率为
P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1
12，（1）设随机变量X~N(?,?2)，已知P{X?16}?0.20，
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P{X?20}?0.90，求?和?；
（2）X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X?2Y?6Z?7}。 解：（1）由P{X?16}??(16???20??P{X?20}??()?0.90??(1.282)，得到20???1.282?；
?得到16????0.84?； )?0.20??(?0.84)，
联立16????0.84?和20???1.282?，计算得到??17.5834,??1.8850。 （2）由X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到
3X?2Y?6Z~N(0,49)。
故所以
P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(?7?0)?1??(1)?0.1587 7
13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以
Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.52)，X以g
计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式； （2）求Z的分布；
（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m?Z?30?X或者Z?m?30?X； （2）因为X~N(0,7.52)，所以Z~N(m?30,7.52)； （3）要使得P{Z?450}?0.95，即要
?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.95，
7.5?? 48
概率论与数理统计及其应用习题解答
所以要求???m?480?m?480即??0.95??(1.645)，
7.5?7.5??1.645，m?492.3375。
所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。
14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y~N(30,9)，设
X,Y相互独立。
（1）求Z的分布；
（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 解：（1）此时Z?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得
Z~N(m?30,65.25)。
（2）P{Z?450}?1????可得
m?48065.25?450?(m?30)??m?480??????????0.90??(1.282)， 65.25???65.25??1.282，即 m?490.36。
15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。
解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，
1X?100?Xi?1100i。则E(X)?2，D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极
限定理可得
P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1100X?21.8?21.8?2?}?1??()??(1)?0.84130.20.20.249
概率论与数理统计及其应用习题解答
16，以X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.X1,?X100服从同一分布，且
1相互独立。X?100?Xi?1100i，求P{24.75?X?25.25}的近似值。
1。由独立同分布的中心100解：根据题意可得E(X)?25(kg),D(X)?极限定理可得
P{24.75?X?25.25}?P{24.75?25X?2525.25?25??}??(2.5)??(?2.5) 0.10.10.1?2?(2.5)?1?0.9876
17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间
(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于
0.5?10?6的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784） 1解：以X1,?X400记这400个数据的舍入误差，X?400?Xi?1400i。则
10?14E(X)?0,D(X)?。利用独立同分布的中心极限定理可得
4800P{?Xi?0.5?10?6}?P{?0.125?10?8?X?0.125?10?8}
i?1400 ?P{?0.125?10?8104800?14?X104800?14?0.125?10?8104800?14}
??(0.2512)??(?0.2512) ?2?(0.866)?1?0.6156
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