数字信号处理学习拓展
??x(n)x(n)??x(n)?n?0n?0N?1N?12
2－23 令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换。X(k)本身也是个N点序列。
如果计算X(k)的离散傅里叶变换得一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。 解：按照题意，可以写成
x1(n)??X(k)WN
k?0N?1N?1k?0N?1kn?N?1?????x(n')WNkn'?WNknk?0?n'?0?
k?n?n'?N?1??x(n')?WNn'?0 因为
?WNk?0N?1k?n?n'??N,n?n'?N ???0,其他 所以
x1(n)??Nx(?n?Nl)?Nx???n??NRN?n?
n'?0N?12－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换X(k)，如题2-24图所示。
X(k)
k01234567??n??x??,n为偶数令y(n)???2?
?0，n为奇数?
题2-24图
求y(n)的16点DFT，并画出其图形。 解：按照题意，当n为奇数时y(n)为零，故可写出
Y(k)??y(n)W16?nkm?0715m?0,2,?14?n?x??W16nk?2?
??x(l)W8lk,0?k?15l?0
2－11
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?7lk??x(l)W8,0?k?7而 X(k)??l?0
?0，其他??7lkx(l)W,0?k?7??lk8?x(l)W,0?k?15?l?0??8 所以Y(k)??l?0 ??7?x(l)Wlk,8?k?15?0，其他?8???l?07?X(k),0?k?7?X(k),0?k?7? ??7 ??l(k?8)X(k?8),8?k?15x(l)W,8?k?15?8???l?0?X(k),0?k?7?8?k?15 即Y(k)??X(k?8)，?0，其他?所以Y(k)的图形如题2-26（a）图所示：
k0123456789101112131415题2-26（a）图
2－25 已知序列
x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)
X(k)是x(n)的6点DFT。
（1） 若有限长序列y(n)的6点DFT 是Y(k)?W64kX(k),求y(n)。
Q(k)?X(2k)，k?0,1,2，（2） 若有限长序列q(n)的3点DFT 满足，求q(n)。
解： （1）序列y(n)的DFT由x(n)的DFT与复指数W64k相乘组成，这相当于是将x(n)圆
周移位了4点：y(n)?x((n?4))6，所以：
y(n)?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n)??(n?1)
（2）序列q(n)长度为3，DFT变换为Q(k)?X(2k)，k?0，其中X(k)是x(n) 1，2，的6点DFT。由于系数X(k)是对X(z)在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以
2－12
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Q(k)?X(2k)，k?0，1，2，相当于是对X(z)在单位圆上等间隔采样3点，所以
???q(n)???x(n?3r)?R3(n)
?r????在0?n?3区间外x(n)?0,因而q(0)?x(0)?x(3)?5;q(1)?x(1)?3;q(2)?x(2)?
2就得到q(n)?5?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)。
2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数w(n)相乘。设x(n)是一个N点的序
列，w(n)是汉明窗：
w(n)?11?2??cos?22?NN???n????
2???试用x(n)的DFT求加窗序列x(n)w(n)的DFT。 解：首先用复指数表示汉明窗
n??n??11jN?1?jN?2?2???w(n)??e?e244??nn11?j?j2N1j??j2N ??ee?ee244??nn11j2N1?j2N ??e?e2442??N?2??N?因此
??nn11j2N1?j2Nx(n)w(n)?x(n)?ex(n)?ex(n)
244如果
DFT[x(n)]?X(k)
则
DFT[ej2?nNx(n)]?X((k?1))N DFT[e?j2?nNx(n)]?X((k?1))N
所以加窗序列x(n)w(n)的DFT为
DFT[x(n)w(n)]?111X(k)?X((k?1))N?X((k?1))N 2442－27 已知x1(n)?{0,1,?1,2},x2(n)?{0,1},求y1(n)?x1(n)*x2(n)和y(n)?x1(n)?
x2(n)；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度L的最小值应为多少？
2－13
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解： y1(n)?{0,0,1,?1,2},y(n)?{2,0,1,?1}， L=4+2-1=5
2－28 已知序列x(n)??(n)?2?(n?2)+?(n?3)，若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷
积，求y(n)及其4点的DFTY(k)。
nk2k3kx(n)W?1?2W?W?444 n=03解：x(n)的4点DFT：X(k)=
y(n)?x(n?)x( n)22k3k4k5kk?Y(k)?X2(k)=(1?2W42k?W4k3)?1?4W?2W?4W?44W? 46W444k ?5?4W4?5W42k?2W43k
?(n)??4n(?+1)?5n?( ?y(n)?5?2?)n2? (2－29 x(n)和h(n)都是长度为6点的有限长序列，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的8
点DFT。若组成乘积Y(k)?X(k)H(k)，对Y(k)作8点IDFT得到序列y(n)，问y(n)在哪些点上等于以下线性卷积：
z(n)?k????x(k)h(n?k)
?解： x(n)和h(n)都是长度为6点，则z(n)?x(n)?h(n)的长度为11点，而y(n)为x(n)
与h(n)的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。 2－30 序列
x(n)??(n)?2?(n?2)??(n?3) （1） 求x(n)的4点DFT；
（2） 若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷积，求y(n)及其4点DFTY(k)； （3） h(n)??(n)??(n?1)?2?(n?3)，求x(n)与h(n)的4点循环卷积。 解： 由题可知：x(n)?{1,0,2,1}
2－14
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（1） X(k)??x(n)en?03?j2?4kn
?1?2e?j?k?ekk?j3?2
?1?2(?1)?ekk?j3?2?3?(?1)2当k?0,?2,?4,???（2） 得到 即 （3）由题知 ?????1?(?1)k?21j当k?1,3,5,???
????1?(?1)?k2?1j当k??1,?3,?5,???y(n)?x(n)?x(n)
1021y(0)?11201040?5
取和1021y(1)?01120022?4
取和1021y(2)?20112021?5
取和1021y(3)?12011001?2
取和y(n)?{5,4,5,2}
3Y(k)??y(n)e?j2?kn4
n?0?5?4e?j?2k?5e?j?k?2e?j3?2k
?5?5(?1)k?2e?j?2k?4(?1)kcos(?k2)?10?6(?1)k2当k?0,?2,???4,?????2j(?1)k?12当k?1,3,5,???
??k?2j(?1)2?1当k??1,?3,?5,???h(n)?{1,1,0,2}
2－15