数字信号处理学习拓展
z(n)?x(n)?h(n)
10211201 z(0)??2
1001取和10211120 z(1)??5
1040取和10210112 z(2)??4
0022取和1021 z(3)?2011?5
2021取和得 z(n)?{2,5,4,5} 2－31 序列x(n)为
x(n)?2?(n)??(n?1)??(n?3)
计算x(n)的5点DFT，然后对得到的序列求平方：
Y(k)?X2(k)
求Y(k)的5点DFT反变换y(n)。
解：序列y(n)的5点DFT等于乘积Y(k)?X(k)X(k)，所以y(n)是x(n)与本身5点圆周
卷积的结果：
?4? y(n)???x(k)x((n?k))?R(n)
55???k?0?一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积y?(n)?x(n)?x(n)，然后将结果叠加：
??? y(n)???y?(n?5k)?R(n)
5???k????x(n)与本身的线性卷积的结果为
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y?(n)??4,4,1,4,2,0,1? 用表格法计算圆周卷积，就会得到 题2-31表
n y?(n) y?(n?4) z(n) 所以
0 1 2 3 4 4 4 1 4 2 0 1 0 0 0 4 5 1 4 2 5 6 7 0 1 0 0 0 0 — — — y(n)?4?(n)?5?(n?1)??(n?2)?4?(n?3)?2?(n?4)
2－32 考虑两个序列：
x(n)?4?(n)?3?(n?1)?3?(n?2)?2?(n?3) h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)
若组成Y(k)?X(k)H(k)，其中X(k)、H(k)分别是x(n)和h(n)的5点DFT，对
Y(k)作DFT反变换得到序列y(n)，求序列y(n)。
解： 因为Y(k)是两个5点DFTX(k)和H(k)的乘积，所以y(n)是x(n)和h(n)的5点圆
周卷积。可以用图解法计算圆周卷积y(n)，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法。本题中，h(n)是一个简单序列，我们可以用分析法。x(n)和h(n)的5点圆周卷积是：
y(n)?x(n)?h(n)??h(k)x((n?k)) ，n?0,1,2,3,4
5k?04因为h(n)?1，n?0,1,2,3，且h(4)?0，5点圆周卷积是：
y(n)?x(n)?h(n)??x((n?k))k?035 ，n?0,1,2,3,4
圆周卷积等于圆周移位序列x((n?k))5的值从k?0到k?3求和的结果，因为x(n)是
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x(n)??1,3,3,2,0?
（x(n)可以看作是长度为5 的序列）x((n?k))5可以通过反向读取序列得到，从
n?0开始：x((?n))5??1,0,2,3,3?
y(0)是x((?n))5的前5个 值相加的结果，得到y(0)?6。将此序列圆周右移1后，就有
x((1?n))5??3,1,0,2,3?
前4个值相加后得到y(1)?6。继续求解，求得：
y(2)?7,y(3)?9,y(4)?8。
2－33 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)?0,n?0,n?8;y(n)?0,n?0,
n?20。对每个序列作20点DFT，得X(k)和Y(k)，如果F(k)?X(k)?Y(k)， k?0，1，
，19。f(n)?IDFT[F(k)]，n?0，1，
，19。试问在哪些点
上f(n)?x(n)*y(n)？为什么？
解： 设fl(n)?x(n)?y(n)，而f(n)?IDFTF?k()??x(n)?y(n)，fl(n)的长度为27，
f(n)的长度为20，
且 f(n)?m?????fl(n?20m）?R20(n)
当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：
f(n)?fl(l)?x(n)?y(n)，7?n?19
2－34 两个有限长序列x1(n)和x2(n)，在区间?0,99?以外的值为0，两个序列圆周卷积后
得到的新序列y(n)为
y(n)?x1(n)?x2(n)
其中N?100。若x1(n)仅在10?n?39时有非零值，确定n为哪些值时，y(n)一定等于x1(n)和x2(n)的线性卷积？
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解： 由于y(n)??x(k)x((n?k))21k?099100，
y(n)等于x1(n)和x2(n)的线性卷积的点n是在
区间?0,99?内，圆周移位x1((n?k))100等于线性移位x1(n?k)的那些点。由于x1(n)仅仅在区间?10,39?内有非零值，我们可以看到杂区间?39,99?内x1((n?k))100?
x1(n?k)。所以当39?n?99时线性卷积与圆周卷积相等。
2－35 求证循环卷积定理。设有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，取N?
max[N1,N2]，且X1(k)和X2(k)分别是两个序列的N点DFT。
（1） 若X(k)?X1(k)?X2(k)，求证x(n)?IDFT[X(K)]?x1(n)?x2(n)； （2） 若x(n)?x1(n)?x2(n)，求证：X(k)?DFT[x(n)]?证明：（1）N点DFT等于X(k)?X1(k)X2(k)的序列为:
1X1(k)?X2(k)。 N1N?1?nk,n?0,1, x(n)??X1(k)X2(k)WNNk?0需要用x1(n)和x2(n)来表示x(n)，由于X1(k)?,N?1
?x(l)W1l?0N?1lkN， 将X1(k)代入到
x(n)的表达式中，有：
N?11N?1lk?nk，n?0,1, x(n)??X2(k)?x1(n)WNWNNk?0l?0,N?1
交换求和顺序，则
1N?1?k(n?l)x(n)??x1(n)[?X2(k)WN]，n?0,1,
Nl?0k?0括号内的项等于x2((n?l))N，有：
N?1,N?1
x(n)??x1(n)x2((n?l))N，n?0,1,
l?0N?1,N?1
=[?x(k)x(n?k)]R12k?0N?1~~N(n)=x1(n)?x2(n)
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（2） 由定义X(k)??x(n)x(n)W12n?0N?1nkN，k?0,1,,N?1 。若想用X1(k)和X2(k)
1N?1?nl来表示X(k)，将下面x2(n)??X2(l)WN的表达式代入上式得：
Nl?0N?11N?1nk?nl，k?0,1,X(k)??x1(n)WN?X2(l)WNNn?0l?0,N?1
交换求和顺序，上式变成：
N?11N?1nk?l X(k)?X2(l)?x1(n)WN?? ?Nl?0n?0第二个求和就是X1((k?l))N，有：
1N?1 X(k)??X2(l)X1((k?l))NRN(k)
Nl?0所以，X(k)是X1(k)和X2(k)圆周卷积的1N倍： 问题得证。
2－36 若x1(n)和x2(n)都是长为N点的序列，X1(k)和X2(k)分别是两个序列的N点
X(k)?1X1(k)?X2(k) N1N?1?DFT。证明： ?x1(n)x(n)?X(k)X?12(k)
Nk?0n?0?2N?1?X(k)是x(n)?x1(n)x2证明：令X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N点DFT ，(n)的
??N点DFT，则x2(n)的DFT是X2(N?k)，k?0,1,N?1n?0N?1n?0,N?1，
?X(0)??x(n)??x1(n)x2(n)
由性质有
1N?1*X(k)??X1(l)X2((N?(k?l)))N ，k?0,1,Nl?0让k?0计算X(k)，就可以得到结论：
,N?1
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