我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。
我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + ? + mn (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, ? mn 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。
例1 书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？
例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？
例3在4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？
例4 妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？
练习与思考 （每题10分，共100分。）
1.
从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有
4班，甲城到乙城共有（ ）种不同的走法。
2.
一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这
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列火车准备____种不同的车票。
3.下面图形中共有____个正方形。
4. 5.
图中共有_____个角。
书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不
同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。
6.
平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画
一条直线，共可以画_____条直线。
7.
图中共有_____个三角形。
8. 9.
图中共有____个正方形．
从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分
数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数．
10. 某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有_____种。
第10讲 五年级数学上下册
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乘法原理
上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题：
从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种走法？
我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地，再从乙地大丙地的4条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地，那么，从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后，可以走从乙地到丙地的任意一条路，这样就有了4种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到丙地的4条路中任选一条到丙地，如图所示：
从图中可以看出，从甲地到丙地共有3 X 4 =12（种）走法。 如果完成一件事情需要几个步，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，?那么，完成这件工作共有N = m1 x m2 x m3 x ? x mn 种不同的方法。这就是乘法原理。
例1 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法？
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例2 从2、3、5、7、11这五个数字中每次取出2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？
例3 用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？
例4 如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？
A B C D
例5 如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向 的马路。他每天步行从家到学校（只能向东或向南走），最多有多少种不同的走法？
小明家
学校
练习与思考 （每题10分，共100分。）
1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经乙地到丙地共有 种走法。
2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书。若要从每层书架上任取一个本书，共有 种不同的取法。
3.有1，2，3，三数字，一共可以组成 个没有重复数字的三位数。 4.两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛 场。
5.从5，7，11，13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成 个
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分数，其中真分数有 个。
6.图中一共有 个不同的长方形。
7.一个口袋里装有5个小球，另7一个口袋里装有4个小球。这些小球的颜色互不相同。
（1） 从两个口袋里任意取一个小球，有 种不同的取法。 （2）从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法。
8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可以表示 种不同的信号。
9.图中从A点到B点共有 种走法（要求走最短的线路）。 A
B 10.用0到9这十个个没有重复数字的三位数。
数字可以组成
第11讲 周期问题（一）
世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支配着。在这些规律中，有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律。
如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈现原俩的状态。我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。例如，在自然
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