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www.jyeoo.com ∴BC=BD=AD，正确； ②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，正确； ③由①的条件可证△BCD∽△ACB，则=，即BC=CD?AC，正确； 222④设BC=x，则AC=AB=2，CD=AC﹣AD=2﹣x，由BC=CD?AC，得x=（2﹣x）?2，解得x=﹣1（舍去负值），即BC=﹣1，正确． 正确的有四个， 故答案为：4． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．关键是明确图形中的三个等腰三角形的特点． 三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤． 21．（8分）（2010?包头）某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示 1800 510 250 210 150 120 每人销售件数 1 1 3 5 3 2 人数 （1）这15位销售人员该月销售量得平均数为 320 件，中位数为 210 件，众数为 210 件； （2）假设销售部经理把每位销售人员的月销售量定为210件，你认为是否合理，为什么？ 考点： 众数；加权平均数；中位数． 专题： 计算题． 分析： （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解； （2）先观察出能销售210件的人数为能达到大多数人的水平即合理． 解答： 解：（1）平均数=（1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2）÷15=320， 按大小数序排列这组数据，第7个数为210，则中位数为210； 210出现的次数最多，则众数为210； 故答案为320，210，210； （2）合理． 因为销售210件的人数有5人，能代表大多数人的销售水平， 所以销售部经理把每位销售人员的月销售量定为210件合理． 点评： 本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 22．（8分）（2010?包头）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处． （1）求轮船所在的B处与灯塔P之间的距离BP； （2）求轮船航行的距离AB．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
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考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 分析： （1）过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB； （2）利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出AC，再利用等腰直角三角形的知识求出BC的长，即可得出AB的长． 解答： 解：（1）作PC⊥AB于C点， ∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=60（海里）． 在Rt△APC中，cos∠APC=∴PC=PA?cos∠APC=30， （海里）． ， =30（海里）． 海里． 在Rt△PCB中，cos∠BPC=∴PB==答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是30 （2）∵PA=60（海里），∠APC=30°，∠ACP=90°， ∴AC=30海里， ∵∠CPB=45°，∠ACP=90°， ∴∠CBP=45°， ∴PC=BC=30海里， ∴AB=AC+BC=30+30=30（1+）海里， 答：轮船航行的距离AB为30（1+）海里． 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 23．（10分）（2010?包头）某市电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度为30秒和60秒得两种广告．30秒广告每播1次收费1.5万元，60秒广告每播1次收费2.4万元，若要求每种广告播放不少于1次，设30秒广告播放x次，60秒广告播放y次．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）两种广告的播放次数哪几种安排方式？
（3）电视台选择哪种方式播放收益最大？最大收益为多少？ 考点： 一次函数的应用． 专题： 经济问题；方案型． 分析： （1）关系式为：30秒的广告时间+60秒的广告时间=4×60，整理即可； （2）根据题意可知，播放每种广告的次数≥1，播放30秒的广告的时间+播放60秒的广告的时间=4×60．根据以上条件，可列出方程组求整数解即可； （3）要收益更大，就是说广告费最少．由（2）得到的安排方式，可求出没种安排方式所用的钱，再比较． 解答： 解：（1）30x+60y=4×60， y=﹣x+4； （2）依题意有 解得或或； 答：两种广告的播放次数有3种安排方式，播放30秒的广告的次数是2时，播放60秒的广告的次数是3；播放30秒的广告的次数是4时，播放60秒的广告的次数是2；播放30秒的广告的次数是6时，播放60秒的广告的次数是1； （3）当x=2，y=3时，1.5×2+2.4×3=10.2（万元）； 当x=4，y=2时，1.5×4+2.4×2=10.8（万元） 当x=6，y=1时，1.5×6+2.4×1=11.4（万元） 所以播放30秒的广告的次数是6时，播放60秒的广告的次数是1，收益最大为11.4万元． 点评： 考查一次函数的应用；判断出不定方程组的正整数解是解决本题的难点． 24．（10分）（2010?包头）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG． （1）求证：PC是⊙O的切线；
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（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG=BF?BO．求证：点G是BC的中点； （3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG的长．
考点： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）连OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，则∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到 ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com ∠1+∠4=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； 2（2）连OG，由BG=BF?BO，即BG：BO=BF：BG，根据三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性质得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根据垂径定理即可得到点G是BC的中点； （3）连OE，由ED⊥AB，根据垂径定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF2中利用勾股定理可计算出OF，从而得到BF，然后根据BG=BF?BO即可求出BG． 解答： （1）证明：连OC，如图， ∵ED⊥AB， ∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG， ∴∠1=∠2， 而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG， ∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）证明：连OG，如图， 2∵BG=BF?BO，即BG：BO=BF：BG， 而∠FBG=∠GBO， ∴△BGO∽△BFG， ∴∠OGB=∠BFG=90°， 即OG⊥BG， ∴BG=CG，即点G是BC的中点； （3）解：连OE，如图， ∵ED⊥AB， ∴FE=FD， 而AB=10，ED=4， ∴EF=2，OE=5， 在Rt△OEF中，OF=∴BF=5﹣1=4， 2∵BG=BF?BO， 2∴BG=BF?BO=4×5， ∴BG=2． ==1， 点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质． 25．（12分）（2010?包头）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=a厘米（a＞4）．动点P、Q同时从C点出发，点P在线段CB上以1厘米/秒的速度由C点向B点运动，点Q在线段CD上以相同的速度由C点向D点运动，过点P作直线垂直于BC，分别交BQ、AD于点E、F，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）如图①，若a=5厘米，在运动过程中，当点E在矩形ABCD的对角线AC上时，求t的值；
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www.jyeoo.com （2）如图②，若a=6厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若经过t秒后，恰好使矩形ABPF的面积与直角三角形BCQ的面积相等，求a的取值范围．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例． 专题： 计算题． 分析： （1）根据平行线分线段成比例定理求出PF，得出=，代入求出即可； （2）连接BF、FQ，根据勾股定理求出即可； （3）根据面积公式求出t，根据t、a的取值求出即可． 解答： 解：（1）∵EF∥AB， ∴△CEP∽△CAB， ∴=即， =， ∴PE=t， ∵EF∥CD， ∴△BPE∽△BCQ， ∴=， 即=， 解得t1=1，t2=0， ∵t＞0， ∴t=1， 答：t的值是1秒． （2）连接BF、FQ， 222根据勾股定理得：BF+FQ=BQ， 222222即4+（6﹣t）+t+（4﹣t）=t+6， 解得：t=2，t=8＞4（舍去）． 答：在运动过程中，存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°，此时t的值是2秒． （3）根据面积公式得：at=4（a﹣t）， ∴at=8（a﹣t）， ∴（a+8）t=8a， ?2010-2013 菁优网