②
g
由此可以推出
￠ u = u
n n -1
v￠ = v + gDt= 2 u - v
n n-1 n-1 n -1
第 n 次碰撞后水平分速度和竖直分速度互换，有
u = 2 u - v n=2,3,4,? ③ n n-1 n -1
v u ， n=2,3,4,? n n -1
由此及①式可得
u = 2 u ， v = u
2 1 2 1
u = 3u ， v = 2u
2 1 3 1
用数学归纳法，设
u = nu = n 2 gh， v = (n- 1)u ⑤
n 1 n 1
将③④式的n 用 n+1 替换，并以⑤式代入，得
u = 2u - v = 2nu - (n- 1)u = (n+ 1) u
n+1 n n 1 1 1
v = u = nu = [(n+ 1)- 1] u
n+1 n 1 1
，= ④ = (n- 1) 2 gh ⑤式得证。
（2）将⑤式代入②式，得
2 u 2 h Dt = 1 2 ⑥ =
g g
即任意两次碰撞之间的时间间隔都相等。
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