y? 其中Ci(i?1,2,3,4)为任意常数.
C14C22x?x?C3x?C4， 242
例3 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动．设力F仅是时间t的函数?F?F(t)． 在开始时刻t?0时F(0)?F0，随着时间t的增大，此力F均匀地减小，直到t?T时，F(T)?0 ．如果开始时质点位于原点，且初速度为零， 求这质点的运动规律． 解 设x?x(t)表示在时刻t时质点的位置， 根据牛顿第二定律， 质点运动的微分方程为
2dx?F(t)． m2dt由题设， 力F(t)随t增大而均匀地减小，且t?0时， F(0)?F0 ，所以F(t)?F0?kt； 又当t?T时，F(T)?0，从而
F(t)?F0(1?t)．
T于是质点运动的微分方程又写为
d2x?F0(1?t)，
Tdt2m其初始条件为x|t?0?0，
dx|?0．
dtt?0 把微分方程两边积分，得
dx?F0(t?t2)?C，
1dtm2T再积分一次，得
x?由初始条件x|t?0?0，
F012t3(t?)?C1t?C2， m26Tdx|?0， 得C?C?0． 12dtt?0于是所求质点的运动规律为
F012t3x?(t?)，0?t?T．
m26T4.2 y???f(x,y?)型微分方程
方程
y???f(x,y?) (6-4-1) 的右端不显含未知函数y，如果我们设y??p，则方程化为
16
p??f(x,p)，
这是关于x,p的一阶方程，设p??f(x,p)的通解为p??(x?C1)，则
dy??(x,C1)， dx ?
对它进行积分，原方程的通解为 ? y? 例4 求微分方程
??(x,C1)dx?C2.
(1?x2)y???2xy?
满足初始条件
y|x?0?1? y?|x?0?3
的特解．
解 所给方程是y???f(x? y?)型的． 设y??p， 代入方程并分离变量后， 有
dp2x?dx． p1?x2两边积分，得
ln|p|?ln(1?x2)?C，
即
p?y??C1(1?x2) (C1??eC)．
由条件y?|x?0?3，得C1?3， 所以
y??3(1?x2)．
两边再积分，得
y?x3?3x?C2．
又由条件y|x?0?1，得C2?1， 于是所求的特解为
y?x3?3x?1．
4.3y???f(y,y?)型微分方程
方程
y???f(y,y?) (6-4-2)
的右端不显含自变量x，y?看作未知函数p(y)，即令y??p，并利用复合函数的求导法则把方程化为
17
y??? 原方程化为
dpdpdydp???p． dxdydxdypdp?f(y,p)． dy设方程pdp?f(y,p)的通解为y??p??(y? C1)? 则原方程的通解为 dy?dy?(y,C?x?C1)2．
例5 求微分方程
yy???y?2?0
的通解．
解 设y??p， 则y???pdpdy，代入方程? 得 ypdpdy?p2?0． 在y?0、p?0时， 约去p并分离变量， 得
dpp?dyy， 两边积分得
lnp?lny?lnc，
即
p?C y或y??C y (C??c)．
再分离变量并两边积分? 便得原方程的通解为
lny?Cx?lnc1，
即
y?C1eCx (C1??c1)．
例6 求微分方程yy???2(y?2?y?)满足初始条件y(0)?1,解 令y??p,由y???pdpdy,代入方程并化简得 ydpdy?2(p?1)，
18
y?(0)?2的特解. 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得
p?y??Cy2?1，
再分离变量,得
dy?dx，
Cy2?1由初始条件y(0)?1，y?(0)?2得出C?1， 从而得
dy?dx，
1?y2再两边积分,得
arctany?x?C1或y?tan(x?C1)，
由y(0)?1得出C1?arctan1?从而所求特解为
?4，
y?tan(x?
?4)．
习题 6-4
1．求下列各微分方程的通解．
????? （1）y?x?sinx ； （2）xy?y?0；
3d2y1????y?(y)?y （3） ； （4）2??3 ；
dxy 2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解．
（1）yy????1,yx?1?1,y?x?1?0； （2）y???e,yx?0?0,y?x?0?0；
（3） y????e,yx?1?y?x?1?y??x?1?0； （4）y???3y,yx?0?1,y?x?0?2．
3．设有一质量为m的物体，在空中静止开始下落，如果空气阻力为R?cv（其中c为常数，v为物体运动的速度），试求物体下落的距离s与时间t的函数关系．
ax2y3
19
第5节 二阶线性微分方程
本节课，我们主要讨论二阶线性微分方程解的结构及其解法.
5.1二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式为
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)，
若方程右端f(x)?0时，方程称为齐次的； 否则称为非齐次的.
先讨论二阶齐次线性方程
y???P(x)y??Q(x)y?0，
即
d2ydy?P(x)?Q(x)y?0. 2dxdx 定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0，
的两个解， 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)，
也是方程的解， 其中C1、C2是任意常数.
证明 对y?C1y1(x)?C2y2(x)求一阶导得
[C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2?， 再求二阶导得
[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2??. 因为y1与y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解， 所以有
y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0， 从而
[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0.
这就证明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解. 下面讨论函数的线性相关与线性无关：
设y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)为定义在区间I上的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数
k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得当x?I 时有恒等式
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