5.3常系数非齐次线性微分方程
本节课着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. 方程
y???py??qy?f(x)，
如果f(x)不恒为零，上述方程称为二阶常系数线性非齐次方程，其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y?y*(x)之和：
y?Y(x)? y*(x).
*本节课只介绍方程右端f(x)取如下两种常见形式时，求y(x)的方法.
5.3.1 f(x)?Pm(x)e型
对于f(x)?Pm(x)e型，其中?是常数，Pm(x)是x的m次多项式：
mm?1P?......?am?1x?am. m(x)?a0x?a1x?x?x 当f(x)?Pm(x)e?x时， 可以猜想， 方程的特解也应具有这种形式.
下面用待定系数法求微分方程
?x y???py??qy?P （6-5-3） (x)em的一个特解.
因为方程（6-5-3）的右端f(x)是多项式Pm(x)与指数函数e的乘积，而多项式与指数函数之积的导数仍为多项式与指数函数之积，联系到方程（6-5-3）左端的系数均为常数的特点，它的特解y也应该是多项式与指数函数之积.因此设y?Q(x)e（其中Q(x)是x的待定多项式）是方程（1）的特解.则有
y*??e?x[Q?(x)??Q(x)]，
y*???e?x[Q??(x)?2?Q?(x)??2Q(x)]， 将y*,y*?,y*??代入方程（6-5-3）并约去e，得
?x*?x*?x?(x? Q?? ( ) （6-5-4） (x)?(?2?p)Q)?2(??p?q)Q(x?xm)P（I） 当?不是特征方程r?pr?q?0的根时，即??p??q?0，要使（6-5-4）式的两端恒等，Q(x)必须与Pm(x)同次，因此可设Q(x)为另一个m次多项式Qm(x)：
22Qm(x)?b0xm?b1xm?1?......?bm?1x?bm（其中bi(i?0,1,...,m)
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然后将所设特解y*?Qm(x)e?x代入方程（6-5-3），并通过比较两端x的同次幂系数来确定
bi(i?0,1,...,m).
（II）当
?是特征方程r2?pr?q?0的单根时，则必有?2?p??q?0而
2??p?0，此时要使式（6-5-4）两端恒等，Q?(x)必须是m次多项式，从而Q(x)是m?1次多项式，因此可设Q(x)?xQm(x)（其中Qm(x)为m次待定多项式）.然后将所设特解，并用与（I）同样的方法确定Qm(x)的系数y*?xQm(x)e?x代入方程（6-5-3）
bi(i?0,1,...m,.
（III） 当?是特征方程r?pr?q?0的二重根时，则必有??p??q?0且
22Q??(x)必须是m次多项式，2??p?0，此时要使式 （6-5-4）两端恒等，从而Q(x)是m?2次多项式，因此可设Q(x)?xQm(x)（其中Qm(x)为m次待定多项式）.然后将所设特解，并用与（I）同样的方法确定Qm(x)的系数y*?x2Qm(x)e?x代入方程（6-5-3）
2bi(i?0,1,...,m).
综上所述，我们有如下结论：
二阶常系数线性齐次微分方程
?x y???py??qy?Pm(x)e
有如下形式的特解
y*?xkQm(x)e?x
其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根，k分别取0，1或2.
例1 求微分方程y???5y??6y?xe的特解.
?x
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e型(其中Pm(x)?x? ??2).
则与所给方程对应的齐次方程为
2x
y???5y??6y?0，
它的特征方程为
r2?5r ?6?0.
解得特征方程有两个实根r1?2， r2?3.
由于??2是特征方程的单根， 所以应设方程的特解为
y*?x(b0x?b1)e2x，
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把它代入所给方程， 得
?2b0x?2b0?b1?x.
比较两端x同次幂的系数，得
??2b0?1?2b?b?0，?2b0?1， 2b0?b1?0. ?01由此求得b0??1， b??1. 于是求得所给方程的一个特解为
1
2y*?x(?1x?1)e2x.
2例 2 求微分方程y???5y??4y?4x2?10x?1的一个特解.
?x2解 因为方程右端f(x)?3x?1，属于P,??0，2(x)e型，其中P2(x)?4x?10x?122且??0不是特征方程r?5r?4?0的根，所以可设特解为
y*?b0x2?b1x?b2
**因而有y??2b0x?b1,y???2b0，将y*,y*?,y*??代入原方程并整理，得
4b0x2?(10b0?4b1)x?(2b0?5b1?4b2)?4x2?10x?1 比较两端x同次幂的系数，有
4b0?4???10b0?4b1?0 ?2b?5b?4b?112?0解之得b0?1,b1?0,b2??*1 42所以原方程的特解为y?x?
1. 4?3x例 3 求微分方程y???6y??9y?6xe解 （1）先求对应齐次方程的通解
的通解.
因为特征方程r?6r?9?0有两个相等的实根r1?r2??3，所以对应齐次方程的通解为
Y?(C1?C2x)e（2）求非齐次方程的一个特解 因为方程右端f(x)?6xe?3x2?3x.
?x???3，，属于P型，其中P且???3(x)e1(x)?6x，1
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是特征方程的二重根，故设特解为
y*?x2(b0x?b1)e?3x，
*32?3x因而有 y??[?3b0x?(3b0?3b1)x?2b1x]e，
*32?3x y???[9b0x?(?18b0?9b1)x?(6b0?12b1)x?2b1]e，
将y*,y*?,y*??代入原方程并整理，得
6b0x?2b1?6x，
比较两端x同次幂的系数，得b0?1,b1?0， 于是特解为
y?xe，
所以原方程的通解为
*3?x3y?(C1?C2x?x3)e?3x.
5.3.2f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型
其中?,?为常数，P并且其中有一个可以为零. l(x),Pn(x)分别是x的l次，n次多项式， 我们可以推导出这种类型的二阶常系数非齐次微分方程的特解的形式 方程y???py??qy?e[Pl (x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式 应用欧拉公式可得
?x
e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i2 ?1[Pe(??i?)x?1[Pe(??i?)x l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]2
?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x，
1212其中P(x)?(Pl?Pni)， P(x)?(Pl?Pni) 而m?max{l? n}. 设方程y???py??qy?P(x)e
(??i?)x
的特解为y1*?xQm(x)e
k(??i?)x
，
则y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解，其中k按??i?不是特
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征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
于是方程y???py??qy?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解为
?x
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x
k ?x
(1)(2)
m(x)cos?x?Rm(x)sin?x].
?xe[R
综上所述，我们有如下结论：
如果f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]， 则二阶常系数非齐次线性微分方程
?x
y???py??qy?f(x)
的特解可设为
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]，
其中R
(1)(2)
m(x)、Rm(x)是
m次多项式， m?max{l? n}， 而k 按??i? (或??i?)不是特征
方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例 4 求微分方程y???3y??2y?e?xsinx的一个特解. 解 方程右端f(x)?e?xcosx属于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型，其中
2r?3r?2?0，因为原方程对应的齐次方程的特征方程P(x)?0,P(x)?1,??1,???1ln的根为r1??1,r2??2，故??i???1?i不是特征方程的根，所以可设特解为
y?e(acosx?bsinx)， 因而有 y*??e?x[(b?a)cosx?(?a?b)sinx]， y*???e?x[?2bcosx?2asinx]， 将y*,y*?,y*??代入原方程并整理，得
(b?a)cosx?(a?b)sinx?sinx， 比较两端x同次幂的系数，有?解之得a?*?x?b?a?0，
?a?b?111,b?， 2211y*?e?x(cosx?sinx).
22所以原方程的特解为
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