习题 6-5
1．求方程下列微分方程的通解．
（1）y???5y??6y?0； （2）y???4y??13y?0 ； （3）y???2y??y?0 ； （4）y???9y?0 ； （5）y???9y?0 ； （6）4y???8y??5y?0；
(7) y(5)?2y(3)?y??0； (8) y(6)?2y(4)?y???2y?0 . 2. 求下列微分方程满足初始条件下的特解： （1）y???4y??4y?0,y （2）y???4y??3y?0,y （3）y???4y?0,yx?0x?0?1,y??6,y?x?0x?0?0； ?0；
x?0x?0?2,y??6；
??2.
d2sds?s?0，s （4）2?2dtdtt?0?4,s?t?0 3．求下列微分方程的通解．
（1）2y???y??y?2e； （2）2y???5y??5x?2x?1； （3）y???5y??6y?e； （4）y???y?x?ex；
(5) y???y?4sinx ； (6) y???2y??4ex(sinx?cosx). 4. 设函数y(x)满足y?(x)?1?[6sin2t?y(t)]dt,y(0)?1,求y(x).
03xx2?x
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第6节 微分方程应用
6.1经济应用
如何用微分方程确定商品价格浮动的规律
例 1 设某种商品的供给量Q1与需求量Q2是只依赖于价格P的线性函数，并假设在t时刻价格P(t)的变化率与这时的过剩需求量成正比.试确定这种商品的价格随时间t的变化规律.
解 设
Q1??a?bP， （6-6-1） Q2?c?dP， （6-6-2） 其中a，b，c，d都是已知的正常数.
当供给量与需求量相等时，由（6-6-1）式与（6-6-2）式求出平衡价格为P?a?c. b?d 当供给量小于需求量时，价格将上涨，这样市场价格就随时间的变化而围绕平衡价格上下波动.因而我们设想价格P是时间t的函数P?P(t).
由假定知道，P(t)的变化率与Q2?Q1成正比，即
dP??(Q2?Q1)， dtdP （6-6-3） ?kP?h，
dt其中?是正常数.将（1）和（2）代入上式，得
其中k??(b?d)，h??(a?c)都是正常数. (3)式是一阶线性微分方程，其通解为
?kdtkdth?kt?kt P(t)?e?(he??C)?Ce??Ce?P
?k
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如果初始价格P(0)?P0，则（3）式的特解为 P?(P0?P)e该式即为商品价格随时间的变化规律.
6.2工程应用
建筑构件的冷却时间如何计算？ 例 2 建筑构件开始的温度为100℃，放在20℃的空气中，开始的600s温度下降到60℃.问从100℃下降到25℃需要多长时间.
解 设物体的温度为T(t)，冷却系数k?0，则该问题的方程
其初始条件为T(0)?100.方程中的负号是因为介质温度20℃ ?kt?P， dT??k(T?20), dtdT?0. dt?kt该方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性非齐次微分方程.其解为 T(t)?80e?20. 又因为开始的600s下降到60℃，即T(600)?60，代入得 k?所以，当T(t)?25时， 25?80eln2t?6001ln2. 600?20， 解得t?2400.即2400s后，物体温度下降到25℃. 习题 6-6 1．作直线运动的物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s时与原点相距100m，在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律. 2．试建立常微分方程，从微分方程的角度说明正确的减体重的方法.设每天的饮食可产生热量A,用于新陈代谢消耗热量B，活动消耗热量C?体重，并且理想假定减重时产生的热量主要由脂肪提供，每千克脂肪转化的热量为D，记W(t)为体重，于是平衡方程为： [W(t??t)?W(t)]D?[(A?B)?CW(t)]?t. 33 第7节 MATLAB软件的应用 MATLAB中主要用dsolve来求解常微分方程的解析解，ode45,ode23,ode15s求解数值解，其中dsolve常用命令格式为： S=dsolve（‘方程1’,‘方程2’，...,‘初始条件1’,...,‘初始条件2’,...,‘自变量’） ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用，ode23与ode45类似，只是精度低一些，ode12s用来求解刚性方程组，是用格式同ode45.可以用help dsolve, help ode45查阅有关这些命令的详细信息. 例1 求下列微分方程的解析解 （1）y'?ay?b； （2）y''?sin(2x)?y,y(0)?0,y'(0)?1； （3）f'?f?g,g'?g?f,f'(0)?1,g'(0)?1. 解 （1）输入命令： clear; s=dsolve('Dy=a*y+b') 输出结果： s =-b/a+exp(a*t)*C1 （2）输入命令： clear; s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x') simplify(s) %以最简形式显示s 输出结果： s =(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x) ans =-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x) （3）输入命令： clear; s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1') simplify(s.f) %s是一个结构 simplify(s.g) 输出结果： ans =exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t) ans =-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t) 例2 求解微分方程 y'??y?t?1,y(0)?1, 先求解析解，再求数值解，并进行比较. 解 输入命令： clear; s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t') 输出结果： simplify(s) 34 ?ty?t?e可得解析解为.下面再求其数值解，先编写M文件fun1.m 输入命令： %M函数fun1.m function f=fun1(t,y) f=-y+t+1; 再用命令 clear; close; t=0:0.1:1; y=t+exp(-t); plot(t,y); %化解析解的图形 hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起 [t,y]=ode45('fun1',[0,1],1); plot(t,y,'ro'); %画数值解图形，用小圈画 xlabel('t'),ylabel('y') 输出结果：如图6-7-1 1.41.351.31.251.21.151.11.051y00.20.4t0.60.81 图6-7-1 解析解与数值解 35