总复习 6
（A）
一、选择题.
1. 微分方程y???y?3?2cosy??y5的阶数是（ ）． (A). 1 ( B). 2 ( C). 3 (D). 5
2. y?C1ex?C2e?x是方程y???y?0的( )，其中C1，C2为任意常数．
（A）通解 （B）特解 （C）是方程所有的解 （D） 上述都不对 3. 微分方程y??P(x)y?Q(x)y，当n?1时为（ ）．
（A）. 一阶线性齐次微分方程 （ B）. 一阶线性非齐次微分方程 （C.） 伯努利方程 （D）. 一阶非线性齐次微分方程
4. 下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程．
2（A）．y???2y?0 （B）．y???xy??3y?0
n（C）．5y???4x?0 （D）． y???2y??1?0 5.在整个数轴上线性无关的一组函数为（ ）.
（A）. x,（C）. ex?2x?1,x?1 （B）. 0,x,x2,x3
,ex?2 （D）. e2?x,2x*ex?2
6. 用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列设法正确的是（ ）. （A）. y?(ax?bx?c)e （B）. y?x(ax?bx?c)e （C）. y?x(ax?b)e （D）. y?x(ax?bx?c)e 二、填空题.
x 1. 若函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f?(x)?f(x)?2e，则
*2x*22x*2x*2xf(x)? ．
2．若y?y1(x),y?y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
3.已知cost和sint是齐次线性方程x???a(t)x??b(t)x?0的两个解，则
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a(t)? ．
三、计算题
1、解下列微分方程．
2 （1）y??y ； （2）y??3xy；
x?y2?1 （3）y??e ； （4）(x?1)yy??y?1.
2 （5）y??7y?0 ； （6）y??xy?0； （7）(x?1)y??2y?0； （8）xy??y?e； （9）y???9y?0 ； （10）y???2y??3y?0.
2．求下列微分方程的通解或特解． （1）求y???y?2x?3的一个特解； （2）求y???6y??9y?5xe?3x2x的通解.
2（3）求微分方程ydx?(x?3y)dy?0满足条件yx?1?1的解．
四、应用题
已知一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子8 m ,另一端离钉子12 m ,如不计钉子对链条所产生的摩擦力, 求链条滑下来所需的时间 .
总复习 6
（B）
一、选择题
1.（2011、数学二）微分方程y????y?e（A）a(e?x2?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）．
?e??x) （B）ax(e?x?e??x)
??x（C）x(ae?be?x) （D）x2(ae?x?be??x)
x2.（2008、数学二）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）． ?A?y?y?4y?4y?0
''''''
?B?y?y?4y?4y?0
'''''' ?C?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y?y?4y?4y?0
''''''
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3.（2010、数学二）设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）．
1111,?? （B）???,??? 22222122 （C）??,?? （D）??,??
3333 （A）?? 4.（2006、数学二）函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是（ ）． （A）y???y??2y?3xex. （C）y???y??2y?3xe.
x
（B）y???y??2y?3ex. （D）y???y??2y?3e.
x5.（2004、数学二）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为（ ）． （A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx. （D）y??ax2?bx?c?Acosx
二、填空题
1.（2013、数学一）已知y1?e3x?xe2x,y2?ex?xe2x,y3??xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解y?__________．
2.（2012、数学二） 设y?y(x)是由方程x2?y?1?ey所确定的隐函数，则
d2ydx2x?0? .
2 3.（2012、数学二） 微分方程ydx?x?3ydy?0满足条件y??x?1?1的解为
y? .
4.（2011、数学二）微分方程y?y?e'?xcosx满足条件y(0)?0的解为
y? .
5.（2010、数学二）3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________.．
y6.（2009、数学二）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则
38
d2ydx2x=0= ．
7.（2008、数学二）微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?____.
8.（2007、数学二） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为
y?________．
9.（2006、数学二）微分方程y??y(1?x)的通解是 ． xdydxx?0 10.（2006、数学二）设函数y?y(x)由方程y?1?xey确定，则
11.（2005、数学二）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??? ．
1的解为 ． 96 12.（2004、数学二）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足yx?1?的特解为_______．
5
三、解答题
1.（ 2003、数学二）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数．
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微2dydy分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解． 2 2.（2011、数学二） 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x切 原点，记?为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若
d?dy?，求y(x)的表达式． dxdx2 3.（2007、数学二）求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解．
22 4．（2014、数学二）已知函数y?y(x)满足微分方程x?yy'?1?y'，且y(2)?0，
求y(x)的极大值和极小值．
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