k1y1(x)?k2y2(x)? ? ? ? ? knyn(x)?0
成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关； 否则称为线性无关.
对于两个函数， 它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关.
例如， 1-cosx ，sinx 在整个数轴上是线性相关的. 函数 x，5x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.
定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程
2
2
y???P(x)y??Q(x)y?0
的两个线性无关的解，那么
y?C1y1(x)?C2y2(x) (C1、C2是任意常数) 是方程的通解.
例1 验证y1?cos x与y2?sin x是方程y???y?0的线性无关解，并写出其通解. 解 因为
y1???y1??cos x?cos x?0， y2???y2??sin x?sin x?0，
所以y1?cos x与y2?sin x都是方程的解.
由于
y1cosx??cotx y2sinx不恒为常数， 所以cos x与sin x在(??, ??)内是线性无关的. 因此y1?cos x与y2?sin x是方程y???y?0的线性无关解. 方程的通解为y?C1cos x?C2sin x. 推论1 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0
的n个线性无关的解， 那么， 此方程的通解为
y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?
其中C1? C2? ? ? ?? Cn为任意常数.
定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)
的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解? 那么
y?Y(x)?y*(x)
是二阶非齐次线性微分方程的通解.
例如，Y?C1cos x?C2sin x 是齐次方程y???y?0的通解， y*?x2?2是y???y?x2 的一个特解， 因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2
21
是方程y???y?x2的通解.
定理4 设非齐次线性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)几个函数之和， 如
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)，
而y1*(x)与y2*(x)分别是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的特解，那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解.
5.2常系数齐次线性微分方程
先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程. 方程
y???py??qy?0 (6-5-1)
称为二阶常系数齐次线性微分方程， 其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y?C1y1?C2y2就是它的通解.
由定理2可知，要求二阶常系数线性齐次微分方程 (6-5-1)的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解.为此，我们分析一下方程 (6-5-1)有什么特点.容易看出，二阶常系数线性微分方程 (6-5-1)的左端是y,y?,y??分别乘以“适当”的常数后，可以合并成零，这就是说，适合于方程 (6-5-1)的函数y必须与其一阶导数、二阶导数之间只差一个常数因子.而指数函数y?e（r为常数）就是具有此特征的最简单的函数.因此可用函数y?e来试解（r是待定常数）.
将y?erx,y??rerx,y???r2erx代入方程 (6-5-1)得
rxrx(r2?pr?q)erx?0
rx因为e?0，所以有
r?pr?q?0 (6-5-2) 由此可见，只要r是代数方程 (6-5-2)的根，那么y?e就是微分方程 (6-5-1)的解.于是微分方程 (6-5-1)的求解问题，就转化为求代数方程 (6-5-2)的根的问题.代数方程(6-5-2)称为微分方程(6-5-1)的特征方程.
特征方程r?pr?q?0是一个一元二次代数方程，它的根有三种情况，因此微分方程
2rx2?p?p2?4q(6-5-1)的解也有三种情况：由一元二次方程的求根公式，有r1,2? 2
22
(1) 当p?4q?0时，特征方程 (6-5-2)有两个不相等的实根r1和r2，则方程 (6-5-1)有两个线性无关的特解y1?e1,y2?e2.
这是因为， 函数y1?er1xrxrx2、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解，又不是常数. ??ey2er2x因此方程的通解为y?C1er1x?C2er2x
(2) 当p?4q?0时，特征方程(6-5-2)有两个相等的实根r1?r2??rx2p?r，则方程2(6-5-1)只得到一个特解y1?e，这时直接验证可知y2?xerx是方程(6-5-)得另一个特解，且
y1与y2线性无关，因此微分方程(6-5-1)的通解为 y?C1erx?C2xerx?(C1?C2x)erx
(3) 当p?4q?0时，特征方程(6-5-2)有一对共轭复根r1,2???i?，其中
24q?p2p???,???0.则方程(6-5-1)有两个线性无关的复数形式的特解
22y1?e(??i?)x,y2?e(??i?)x.而在实际问题中，常用的是实数形式的解，为了得到实数形式的
解.我们先利用欧拉公式e?cosx?isinx把y1,y2改写为 y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x), y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x),
由本节定理1知，微分方程(6-5-1)的两个解的线性组合仍是它的解，因此实数函数
ix1(y1?y2)?e?xcos?x, 21?x y2?(y1?y2)?esin?x,
2i y1?仍是微分方程(6-5-1)的解，且它们线性无关，因此方程(6-5-1)的通解为 y?e(C1cos?x?C2sin?x)
综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解的步骤如下： （1） 写出微分方程(6-5-1)的特征方程r?pr?q?0； （2） 求出特征方程的两个根r1，r2；
（3） 根据两个根的不同情形，按下表写出微分方程(6-5-1)的通解：
2?x
23
特征方程r?pr?q?0的两个根r1，r2 两个不相等的实根r1，r2 两个相等的实根r1?r2??一对共轭复根r1,2???i?
例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为
2微分方程y???py??qy?0的通解 y?C1ex?C2xex p?r 2y?(C1?C2x)erx y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) r2?2r?3?0，
即
(r?1)(r?3)?0.
其根r1??1， r2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为
y?C1e?x?C2e3x.
例2 求方程y???2y??y?0满足初始条件y|x?0?4、y?| x?0??2的特解.
解 所给方程的特征方程为
r2?2r?1?0，
即
(r?1)2?0.
其根r1?r2??1是两个相等的实根， 因此所给微分方程的通解为
y?(C1?C2x)e?x.
将条件y|x?0?4代入通解， 得C1?4， 从而
y?(4?C2x)e?x，
将上式对x求导，得
y??(C2?4?C2x)e?x.
再把条件y?|x?0??2代入上式，得C2?2. 于是所求特解为
x?(4?2x)e?x.
例3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解. 解 所给方程的特征方程为
r2?2r?5?0.
特征方程的根为r1?1?2i? r2?1?2i? 是一对共轭复根， 因此所求通解为
y?ex(C1cos2x?C2sin2x).
方程
y(n) ?p1y(n?1)?p2 y(n?2) ? ? ? ? ? pn?1y??pny?0，
称为n 阶常系数齐次线性微分方程，其中 p1? p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式， 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去.
24
引入微分算子D? 及微分算子的n次多项式：
L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn，
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0.
注：D叫做微分算子Dy?y? Dy?y?? Dy?y??? Dy?y???? ? ? ??Dy?y? 分析： 令y?erx， 则
0
2
3
n
(n)
L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx.
因此如果r是多项式L(r)的根， 则y?erx是微分方程L(D)y?0的解. n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：
L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0
称为微分方程L(D)y?0的特征方程.
根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下： （1） 单实根r 对应于一项： Cerx ；
（2） 一对单复根r1? 2?? ?i? 对应于两项： e?x(C1cos?x?C2sin?x)； （3） k重实根r对应于k项：erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)； （4）一对k 重复根r1? 2?? ?i? 对应于2k项：
e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?( D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x].
这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解
y?C1y1?C2y2???Cnyn.
例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解. 解 这里的特征方程为
r4?2r3?5r2?0，
即
r2(r2?2r?5)?0.
它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i. 因此所给微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x).
例5 求方程
d4wdx4 解 这里的特征方程为
??4w?0的通解， 其中??0.
r4?? 4?0.
它的根为r1,2??(1?i)? r3,4???(1?i).
22因此所给微分方程的通解为
? w?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x).
25