f(2)??2，f(?2)?2；所以fmin??2，fmax?2，故?2?f(x)?2，即3x?x3?2.
22、y'?2x?y，y(0)?0
通解为y?(?2x?2)?Cex，由y(0)?0得C?2，故y??2x?2?2ex. 23、（1）S?（2）V??24、
?2?2(8?x2?x2)dx?2864 3?40(y)dy???(8?y)2dy?16?
4tt00??f(x)dxdy??dx?Dtf(x)dy?t?f(x)dx
0tt???f(x)t?0g(t)??0
?t?0?a（1）limg(t)?limt?0t?00?tf(x)dx?0，由g(t)的连续性可知a?g(0)?limg(t)?0
t?0（2）当t?0时，g'(t)?f(t)，
f(x)dxg(h)?g(0)?0?lim?limf(h)?f(0) 当t?0时，g(0)?limh?0h?0h?0hh'h综上，g(t)?f(t).
'2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若limx?0A、
1 4f(2x)1?2，则limxf()? （ ）
x??x2x1B、 C、2 D、4
222、已知当x?0时，xln(1?x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1?cosx的高阶无穷
小，则正整数n? （ ） A、1
B、2
C、3
D、4
26
3、设函数f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f'(x)?0的实根个数为 （ ） A、1
B、2
C、3
D、4
4、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A、cos4x?C 5、设f(x)?4?f'(2x)dx? （ ）
C、2cos4x?C D、sin4x?C
B、
1cos4x?C 2?x21 sint2dt，则f'(x)? （ ）
224A、sinx B、2xsinx C、2xcosx D、2xsinx 6、下列级数收敛的是 （ ）
2nA、?2
n?1n?B、
?n?1?n n?11?(?1)nC、?
nn?1?D、
?n?1?(?1)nn
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1?x?7、设函数f(x)??(1?kx)??2x?0，在点x?0处连续，则常数k?
x?028、若直线y?5x?m是曲线y?x?3x?2的一条切线，则常数m? 9、定积分
?2?24?x2(1?xcos3x)dx的值为
???110、已知a，b均为单位向量，且a?b?，则以向量a?b为邻边的平行四边形的面积为
2???11、设z?x，则全微分dz? y2x12、设y?C1e?C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
ex?x?113、求极限lim.
x?0xtanxdyd2y14、设函数y?y(x)由方程e?e?xy确定，求、. 2dxx?0dxx?0xy2?x15、求不定积分xedx.
? 27
16、计算定积分
?11?x222x2dx. f(2x?3y,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求?217、设z?z?x?y.
18、求微分方程xy'?y?2007x2满足初始条件yx?1?2008的特解.
19、求过点(1,2,3)且垂直于直线??x?y?z?2?02x?y?z?1?0的平面方程.
?20、计算二重积分
??x2?y2dxdy，其中D??(x,y)|x2?y2?2x,y?0?.
D四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、设平面图形由曲线y?1?x2（x?0）及两坐标轴围成. （1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；
（2）求常数a的值，使直线y?a将该平面图形分成面积相等的两部分. 22、设函数f(x)?ax3?bx2?cx?9具有如下性质： （1）在点x??1的左侧临近单调减少； （2）在点x??1的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变. 试确定a，b，c的值.
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23、设b?a?0，证明：?bady?byf(x)e2x?ydx??ba(e3x?e2x?a)f(x)dx.
24、求证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2.
2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、ln2 8、1 9、2? 28
、
32 10
11、
1xdx?2dy 12、y''?5y'?6y?0 yyex?x?1ex?x?1ex?1ex1?lim?lim?lim?. 13、解：lim2x?0xtanxx?0x?0x?022x2xdyex?y?y'?y14、解：方程e?e?xy，两边对x求导数得e?e?y'?y?xy'，故. dxe?xxyxydyd2y又当x?0时，y?0，故?1、2??2.
dxx?0dxx?02?x2?x2?x?x2?x?x15、解：xedx??xd(e)??xe?2xedx??xe?2xd(e)
??????x2e?x?2xe?x?2e?x?C.
16、解：令x?sint，则
?12221?x2cost?2dx?dt?1?. ?22?4xsint4??z?2z''''''''''?2f1?yf2，17、解：?2(f11?3?f12?x)?f2'?y(f21?3?f22?x) ?x?x?y''''''?6f11?(2x?3y)f12?xyf22?f2'
18、解：原方程可化为y?'11?y?2007x，相应的齐次方程y'??y?0的通解为y?Cx.可xx'设原方程的通解为y?C(x)x.将其代入方程得C(x)x?C(x)?C(x)?2007x，所以
C'(x)?2007，从而
C(x)?2007x?C，故原方程的通解为y?(2007x?C)x. 又y(1)?2008，所以C?1，于是
所求特解为y?(2007x?1)x.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为
?ijkn?(1,1,1)?(2,?1,1)?111?(2,1,?3).
2?11故所求平面方程为2(x?1)?(y?2)?3(x?3)?0，即2x?y?3z?5?0.
?2222cos?20、解：
??Dx?ydxdy????d?d???2d??D00816?d???2cos3?d??.
3092? 29
21、解：（1）V??10?(1?x2)2dx?8?； 15112（2）由题意得
?a0(1?y)dy??(1?y)dy. 由此得(1?a)?1??(1?a). 解得
a1232321a?1?()3.
422、解：f'(x)?3ax2?2bx?c，f''(x)?6ax?2b.
由题意得f'(?1)?0、f''(1)?0、f(1)?2，解得a??1、b?3、c?9 23、证明：积分域D：?bb1?a?y?b?a?x?b，积分域又可表示成D：?
y?x?ba?y?x??2x?y?dy?ayf(x)e2x?ydx???f(x)eD??dx?f(x)eaabx2x?ydy??f(x)edx?e2ydy
aab2xx??f(x)e2x(ex?ea)dx??(e3x?e2x?a)f(x)dx.
aabbx?1x2?1'24、证明：令F(x)?lnx?，显然，F(x)在?0,???上连续. 由于F(x)??0，
x?1x(x?1)2故F(x)在?0,???上单调递增，
F(x)?F(1)?0，于是，当0?x?1时，即lnx?当x?1时，F(x)?F(1)?0，即lnx?x?1222，又x?1?0，故(x?1)lnx?(x?1)； x?1x?1222，又x?1?0，故(x?1)lnx?(x?1). x?122综上所述，当x?0时，总有(x?1)lnx?(x?1).
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高等数学
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