x?1x)? x??x?1f(x)?f(?x)? 8. 若f?(0)?1，则limx?0x7. lim(x3?1dx的值为 9. 定积分?2?1x?11????10. 设a?(1,2,3),b?(2,5,k)，若a与b垂直，则常数k?
11. 设函数z?lnx2?4y，则dzx?1y?0?
(?1)nn12. 幂级数?x的收敛域为
nn?0?三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限lim(x?011?2)
xtanxxx?y14、设函数y?y(x)由方程y?e15、求不定积分xarctanxdx
dyd2y?2x所确定，求,2
dxdx?16、计算定积分
?40x?3dx 2x?1?x?2?t?17、求通过点(1,1,1)，且与直线?y?3?2t垂直，又与平面2x?z?5?0平行的直线的方程。
?z?5?3t??2z18、设z?yf(xy,e)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求
?x?y2x19、计算二重积分
??xdxdy，其中D是由曲线x?Dx?2x1?y2，直线y?x及x轴所围成的闭区域。
\'20、已知函数y?e和y?e是二阶常系数齐次线性微分方程y?py?qy?0的两个解，试
\'x确定常数p,q的值，并求微分方程y?py?qy?e的通解。
四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当x?1时，ex?1?121x? 22 41
??(x),x?0,?22、设f(x)??x其中函数?(x)在x?0处具有二阶连续导数，且
?x?0,?1,?(0)?0,?'(0)?1，证明：函数f(x)在x?0处连续且可导。
五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设由抛物线y?x2(x?0)，直线y?a2(0?a?1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线y?x2(x?0)，直线y?a2(0?a?1)与直线x?1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另V(a)?V1(a)?V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。
f'(x)24、设函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2e，且f(0)?2，记由曲线y?与直线
f(x)'xy?1,x?t(t?0)及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t)
t???
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C 7、e 8、2
29、
? 10、?4 11、dx?2dy 12、(?1,1] 2x?tanxx?tanx1?sec2x?tan2x1?lim?lim?lim??13、原式=lim2.
x?0xtanxx?0x?0x?03x33x23x2dydydy2?ex?yd2y9ex?yx?y14、 ?e(1?)?2，?;??2x?y3dxdxdx1?ex?ydx(1?e)15、原式?1211xarctanx?x?arctanx?C. 222t2?116、变量替换：令2x?1?t，x?，dx?tdt，
2t2?1?3233t5153282?tdt??(?)dt?(t3?t)?原式?? 11t226213 42
17、n1?(1,2,3)，n2?(2,0,?1)，n?n1?n2?1?????ijk23?(?2,7,?4)， 20?1所求直线方程为
x?1y?1z?1?? ?27?4?z?2z2''x''''?y(f1y?f2e)；18、 ?3y2f1'＋2exyf2'?xy3f11?xy2exf12?x?x?y19、
??xdxdy??D200dy?1?y2yxdx?2 6220、特征方程的两个根为r1?1,r2??2，特征方程为r?r?2?0，从而p?1,q??2；
??1是特征方程的单根，p(x)?1，可设Q(x)?Ax，即设特解为Y?Axex，
Y'?Aex?Axex，Y''?2Aex?Axex，p?1,q??2，代入方程y\?py'?qy?ex得
(2A?Ax?A?Ax?2A)ex?ex，3A?1,A?
21、构造函数f(x)?ex?111x?2x?x ，通解为y?C1e?C2e33?121x?，f'(x)?ex?1?x，f''(x)?ex?1?1?0，f'(x)在(1,??)22''上单调递增，f(1)?0，f(x)?0，f(x)在(1,??)上单调递增，f(1)?0，f(x)?0，即
ex?1?121x?。 2222、limf(x)?limx?0x?0?(x)xx?0?(x)?1f(x)?f(0)?(x)?x?'(x)?11?'(x)??'(0)'xf(0)?lim?lim?lim?lim?lim2x?0x?0x?0x?0x?0x2x2x?0x?0x11?lim?''(x)??''(0)，可导性得证。 2x?02a452222V(a)??[(a)?(x)]dx??a， 23、1?05114V2(a)???[(x2)2?(a2)2]dx?(?a4?a5)?，
a5518V(a)?V1(a)?V2(a)?(?a4?a5)?，
55113V'(a)?(8a4?4a3)?，令V'(a)?0得a?，最小值为V()??
2216x?0?lim?(x)??(0)??'(0)?1?f(0)，连续性得证；
?dxdxx?x2xx?x24、f(x)?e?(2ee?dx?C)?e(e?C)?e?Ce，
? 43
f(0)?2,C?1，f(x)?ex?e?x，f'(x)?ex?e?x，
f'(x)ex?e?xe2x?1e2x?1?22， y??x???1??x2x2x2xf(x)e?ee?1e?1e?12xttet22?1?e2xe2xA(t)??(1?(1?2x))dx??2xdx??d2x??1?2xd2x 2x0000e?1e?1e?1e?1t1e2t2x2t2t2t?2t??2xd(e?1)?2t?ln(e?1)?ln2?lne?ln(e?1)?ln2?ln?ln2
0e?11?e2tte2t?ln2)?ln2 从而limA(t)?lim(ln2tt???t???1?e
44