4、曲线y?A、1
2x?1的渐近线的条数为 （ ） 2(x?1)B、2
C、3
D、4
5、设F(x)?ln(3x?1)是函数f(x)的一个原函数，则A、
?f'(2x?1)dx? （ ）
1?C
B、
3?C
C、
1?C
D、3?C
6x?46x?412x?812x?8??6、设?为非零常数，则数项级数n?? （ n?1n2A、条件收敛
B、绝对收敛 C、发散 D、敛散性与?有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知limxx?(x?C)x??2，则常数C? . 8、设函数?(x)??2x0tetdt，则?'(x)＝ . ??(1,?2,1)???9、已知向量a?(1,0,?1)，b?，则a?b与a的夹角为 . 10、设函数z?z(x,y)由方程xz2?yz?1所确定，则
?z?x＝ . ?11、若幂函数?ann1n2x(a?0)的收敛半径为，则常数a? .
n?1212、微分方程(1?x2)ydx?(2?y)xdy?0的通解为 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限：limx3x?0x?sinx
y?y(x)由参数方程??x?ln(1?t)dyd214、设函数?t?2t?3,y?y2所确定，，求dxdx2. 15、求不定积分：?sin2x?1dx.
16、求定积分：
?1x20.
2?x2dx17、求通过直线
x3?y?12?z?21且垂直于平面x?y?z?2?0的平面方程.
36
）
18、计算二重积分
22D?{(x,y)0?x?2,x?y?2,x?y?2}. ，其中yd???D?2z19、设函数z?f(sinx,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.
?x?y20、求微分方程y''?y?x的通解.
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知函数f(x)?x3?3x?1，试求： （1）函数f(x)的单调区间与极值； （2）曲线y?f(x)的凹凸区间与拐点；
（3）函数f(x)在闭区间[?2,3]上的最大值与最小值.
22、设D1是由抛物线y?2x2和直线x?a,y?0所围成的平面区域，D2是由抛物线y?2x2和直线x?a,x?2及y?0所围成的平面区域，其中0?a?2.试求：
（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2. （2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等.
证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
?e?x,x?023、已知函数f(x)??，证明函数f(x)在点x?0处连续但不可导.
?1?x,x?0224、证明：当1?x?2时，4xlnx?x?2x?3.
2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、ln2 8、4xe
2x12?z29、 10、? 11、2 12、lnx?x?2lny?y?C
232xz?y
37
x33x2?lim?6，. 13、limx?0x?sinxx?01?cosx14、dx?dy(2t?2)dt1??2(t?1)2， dt,dy?(2t?2)dt，
1dx1?tdt1?tdydydx?4(t?1)dt?4(t?1)2.
?1dxdx2dt1?t2dt2?115、令2x?1?t,x?，?sin2x?1dx??sint?tdt???tdcost??tcost??costdt
2??tcost?sint?C??2x?1cos2x?1?sin2x?1?C
16、令x?2sin?，当x?0,??0；当x?1,????4.
?10x22?x2dx??402sin2?2cos??2cos?d???401?1(1?cos2?)d??(??sin2?)4??
2042?17、已知直线的方向向量为s0?(3,2,1)，平面的法向量为n0?(1,1,1).由题意，所求平面的法
i向量可取为n?s0?n0?(3,2,1)?(1,1,1)?3jk21?(1,?2,1).又显然点(0,1,2)在所求平面
111上，故所求平面方程为1(x?1)?(?2)(y?1)?1(z?2)?0，即x?2y?z?0.
?18、
??yd?????DD2sin?d?d????2sin?d??42cos?21?d????2(8csc2??22sin?)d?
342?? ?1(?8cot??22cos?)2?2
?34?z?2z''''''?f1?cosx?f2?y；19、 ?f2'?xcosx?f12?xyf22?x?x?y20、积分因子为?(x)?e??2dxx?elnx?2?1. 2x 38
dy2y??x. dxx1dy2y1?3?. 在方程两边同乘以积分因子2，得到2xxxdxx化简原方程xy，?2y?x2为
d(x?2y)1?. 化简得：
dxxd(x?2y)1??dx. 等式两边积分得到通解?dxx故通解为y?x2lnx?x2C
21、（1）函数f(x)的定义域为R，f'(x)?3x2?3，令f'(x)?0得x??1，函数f(x)的单调增区间为(??,?1],[1,??)，单调减区间为[?1,1]，极大值为f(?1)?3，极小值为
f(1)??1.
（2）f''(x)?6x，令f''(x)?0，得x?0，曲线y?f(x)在(??,0]上是凸的，在[0,??)上是凹的，点(0,1)为拐点.
（3）由于f(?1)?3，f(1)??1，f(3)?19，故函数f(x)在闭区间[?2,3]上的最大值为
f(3)?19，最小值为f(1)?f(?2)??1.
22、（1）V1??a?2a?（2）A1?22?2a20?xdy??a. V2??a?(2x2)2dy??(32?a5).
24245?a02x2dx?x?02232a.A2??2x2dx?(8?a3).由A1?A2得a?34.
a33?xf(x)?lime23、证（1）因为lim??x?0f(x)?lim(x?1)?1，且f(0)?1，所以函数?1，lim??x?0x?0f(x)在x?0处连续。
f(x)?f(0)f(x)?f(0)x?1?1e?x?1lim?lim??1，所以?lim??1（2）因为lim，x?0?x?0?x?0?x?0?x?0xx?0xf'?(0)??1,f'?(0)?1. 由于f'?(0)?f'?(0)，所以函数f(x)在x?0处不可导.
''2'24、证 令f(x)?4xlnx?x?2x?3，则f(x)?4lnx?2x?2，f(x)?44?2x?2?，xx'''由于当1?x?2时，f(x)?0，故函数f(x)在[1,2)上单调增加，从而当1?x?2时
f'(x)?f'(1)?0，于是函数f(x)在[1,2)上单调增加，从而当1?x?2时，f(x)?f(1)?0，
39
即当1?x?2时，4xlnx?x2?2x?3
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当x?0时，函数f(x)?x?sinx与g(x)?axn是等价无穷小，则常数a,n的值为 ( A. a?16,n?3 B. a?13,n?3 C. a?1112,n?4 D. a?6,n?4 2.曲线y?x2?3x?4x2?5x?6的渐近线共有 ( A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.设函数?(x)??2tx2ecostdt，则函数?(x)的导数??(x)等于 ( A. 2xex2cosx2 B. ?2xex2cosx2 C. ?2xexcosx D. ?ex2cosx2
4.下列级数收敛的是 ( ?A. ?nn? B.
??2n?1 ??1?(?1)n2 C. n?11n?1n?n??n2n n?1n D. n?12
5.二次积分?1y?10dy?1f(x,y)dx交换积分次序后得 ( A. ?1dx?x?101f(x,y)dy B. ?2?11dx?x0f(x,y)dy C.
?2?x?1f(x,y)dy D.
211dx1?1dx?x?1f(x,y)dy
6.设f(x)?x3?3x，则在区间(0,1)内 ( A. 函数f(x)单调增加且其图形是凹的 B. 函数f(x)单调增加且其图形是凸的 C. 函数f(x)单调减少且其图形是凹的 D. 函数f(x)单调减少且其图形是凸的 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
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