2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数为（
x?1（A）0 （2）设函数=（
）
n?1） （D）3
（B）1 （C）2
f(x)?(ex?1)(e2x?2)…（enx-n），其中n为正整数，则f?(0)(n?1)! n!
（B）(?1)
?20n（A）(?1)（C）(?1)(n?1)!
n
n?1（D）(?1)2n!
）
（3）设函数
2f(t)连续，则二次积分?d??4?x22x?x24?x22x?x22cos?f(r2)rdr=（
（A）
???02dx?dx?dx?1x2?y2f(x2?y2)dy f(x2?y2)dy
x2?y2f(x2?y2)dy
（B）
0（C）
24?x2?2x?x24?x2?2x?x20（D）
?20dx?1f(x2?y2)dy
?1(?1)nnsin?绝对收敛，?2??条件收敛，则?范围
ni?1n（4）已知级数为（ ） （A）0
1< ??1 23（C）1
2
3（D）
2
?1??0??0???1?????????（5）设?1?0,?2?1,?3??1,?4?1其中c1，c2，c3，c4为
?????????c??c??c??c??1??2??4??3?任意常数，则下列向量组线性相关的是（ （A）?1，?2，?3 （C）?1，?3，?4
）
（B）?1，?2，?4 （D）?2，?3，?4
?1??1?，-1
（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP=?? ?2????1P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?????????）则QAQ=（
?1???2（A）?? ??1???2???1（C）?? ?2???
?1??1?（B）
?? ??2???2???2（D）?? ?1???
（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则
?｛?2+?2?1｝（
（A）
）
1 4 （B）
1 2 （C）
2?8 （D）
?4
（1，?（8）设X1，X2，X3，X4为来自总体N）（??0）的简单随机样
X1?X2本，则统计量的分布（
|X3+X4-2|（0，1）（A）N
（B）t(1)
） （C）?2(1) （D）F(1,1)
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置
上.
（9）lim(tanx)x?1cosx?sinx?
4?dy?lnx,x?1（10）设函数f(x)?,y?f(f(x)),求dx??2x?1,x?1（11）函数_______. （12）由曲线
__
x?0
z?f(x,y)满足limx?0y?1f(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0,则dz(0,1)?y?4和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为x_______.
*
（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.
（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?11,P(C)?,则23P（??C）=_________.
三、 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
e?e2?2cosx计算lim 4x?0x（16）（本题满分10分） 计算二重积分
xe??xydxdy，其中D为由曲线y?x与y?Dx21所围区域. x（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，
x且固定两种产品的边际成本分别为20+（万元/件）与6+y（万元/件）.
21）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.
3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
（18）（本题满分10分）
1?xx2?cosx?1?,?1?x?1. 证明：xln1?x2（19）（本题满分10分）已知函数及
f(x)满足方程f?(x)?f?(x)?2f(x)?0f?(x)?f(x)?2ex
1）求表达式
f(x)
2）求曲线的拐点y?f(x)?f(?t2)dt
02x（20）（本题满分10分）
?1?0设A???0??a（I）求|A|
a00??1???1?1a0??，b??? ?0?01a????001??0?（II）已知线性方程组Ax?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解. (21)（本题满分10分）
?1?0已知A????1??01?11????，二次型f(x1,x2,x3)?x(??)x的秩为2， 0a??a?1?0（1） 求实数a的值；
（2） 求正交变换x=Qy将f化为标准型.
（22）（本题满分10分）
已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X 0 1 P Y
2 1 21 31 60 1 2
P XY P 求（1）P(X=2Y); （2）cov(X0 1 31 31 31 2 0 4 7 121 31 12?Y,Y)与?XY.
（23）（本题满分10分）
设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，
V?min(X,Y),U=max(X,Y).
求（1）随机变量V的概率密度； （2）E(U?V).
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与是cxk等价无穷小，则
(A) k?1,c?4 (B) k?1,c??4 (C) k?3,c?4 (D) k?3,c??4
x2f(x)?2f(x3)? (2) 已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则limx?0x3(A) ?2f(0) (B) ?f(0) (C) f(0) (D) 0 (3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是
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