（18）（本题满分11分） 设二元函数
?x2.? f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分
Dx?y?1.1?x?y?2.
??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2。
?（19）（本题满分11分）
设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，
f(b)＝g(b)，证明：
（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)； （Ⅱ）存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?)。 （20）（本题满分10分） 将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间。
x2?3x?4?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0?2x?4x?ax3?02?1（21）（本题满分11分）
设线性方程组
(1)
与方程
x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解。
（22）（本题满分11分）
(2)
设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量。记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵。
（Ⅰ）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B。 （23）（本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
53
?2?x?y,0?x?1,0?y?1.f(x,y)??
?0,其他（Ⅰ）求P?X?2Y?；
（Ⅱ）求Z?X?Y的概率密度fZ(z)。 （24）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为
?10?x??,?2?，??1.
f(x;?)??,??x?1,?2(1??)?0，其他??其中参数?(0???1)未知，X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值。
?； （Ⅰ）求参数?的矩估计量?（Ⅱ）判断4X是否为?的无偏估计量，并说明理由。
222006年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) lim??n?1??n???n???1?n?______.
f?x?(2) 设函数f(x)在x?2的某邻域内可导，且f??x??e，f?2??1，则
f????2??____ .(3) 设函数f(u)可微，且f??0??122，则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分2dz?1,2??_____.
?21?(4) 设矩阵A??矩阵B满足BA?B?2E，则B? . E为2阶单位矩阵，?，
?12??(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??_______.
(6) 设总体X的概率密度为f?x??1?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X222的简单随机样本，其样本方差为S，则ES?____.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（）
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . (8) 设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（）
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 (9) 若级数
?an?1?n收敛，则级数（）
(A)
?an?1??n收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1an?an?1收敛. ?2n?1(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是（）
(A) C?y1(x)?y2(x)?. (B) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?. (C) C?y1(x)?y2(x)?. (D) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? (11) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(13) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到
?110???第2列得C，记P??010?，则（）
?001???(A) C?PAP. (B) C?PAP.
(C) C?PAP. (D) C?PAP.
2(14) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，随机变量Y服从正态分布N(?2,?2)，
?1?1TT且
P?X??1?1??P?Y??2?1?
则必有（）
(A) (C)
?1??2 (B) ?1??2
?1??2 (D) ?1??2
三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设f?x,y??yy?,x?0,y?0，求： 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ)g?x??limf?x,y?；
g?x?。 (Ⅱ)lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分域。
（17）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时，
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）。
（Ⅰ）求L的方程；
（Ⅱ）当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）
8时，确定a的值。 3?1?x2n?1? 求幂级数?的收敛域及和函数s(x)。 n2n?1??n?1?n?1（20）（本题满分13分）
设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,?4?
TTT?4,4,4,4?a?T问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关？当?1,?2,?3,?4线性相关时，求其一
个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
TT