（Ⅰ）求Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （Ⅱ）求Y1与Yn的协方差Cov?Y1,Yn?；
（Ⅲ）若c?Y1?Yn?是?2的无偏估计量，求常数c.
2
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 若limsinx?cosx?b??5，则a?______，b?______.
x?0ex?a(2) 函数f?u,v?由关系式f??xg?y?,y???x?g?y?确定，其中函数g?y?可微，且
?2fg?y??0，则?______.
?u?v11?x2xe,??x?,?2?22(3) 设f?x??? 则?1f?x?1?dx?_____.
12??1,x?,??2(4) 二次型f?x1,x2,x3???x1?x2???x2?x3???x3?x1?的秩为______. (5) 设随机变量X服从参数为?的指数分布，则PX?222?DX?______.
?
(6) 设总体X服从正态分布N?1,?2，总体Y服从正态分布N?2,?2，
????X1,X2,?,Xn1和Y1,Y2,?,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则
n22?n1??Xi?X??Yj?Yi?1j?1E??n1?n2?2??????2????______. ???二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(7) 函数f?x??xsin?x?2?x?x?1??x?2?2在下列哪个区间内有界.
（A）??1,0? （B）?0,1? （C）?1,2? （D）?2,3?
??f(8) 设f?x?在???,???内有定义，且limf?x??a，g?x???x?????1???,x?0, 则 ?x?0,x?0,（A）x?0必是g?x?的第一类间断点 （B）x?0必是g?x?的第二类间断点 （C）x?0必是g?x?的连续点 （D）g?x?在点x?0处的连续性与a的值有关.
(9) 设f?x??x?1?x?，则
（A）x?0是f?x?的极值点，但?0,0?不是曲线y?f?x?的拐点 （B）x?0不是f?x?的极值点，但?0,0?是曲线y?f?x?的拐点 （C）x?0是f?x?的极值点，且?0,0?是曲线y?f?x?的拐点 （D）x?0不是f?x?的极值点，?0,0?也不是曲线y?f?x?的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若
??un?1?2n?1?u2n?收敛，则?un收敛
n?1?② 若
?un?1?n收敛，则
?un?1?n?1000收敛
?un?1③ 若lim?1，则?un发散
n??un?1n???④ 若
??un?1n?vn?收敛，则?an，?vn都收敛
n?1n?1则以上命题中正确的是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
(11) 设f??x?在?a,b?上连续，且f??a??0,f??b??0，则下列结论中错误的是 （A）至少存在一点x0??a,b?，使得f?x0??f?a? （B）至少存在一点x0??a,b?，使得f?x0??f?b? （C）至少存在一点x0??a,b?，使得f??x0??0 （D）至少存在一点x0??a,b?，使得f?x0??0 (12) 设n阶矩阵A与B等价，则必有
（A）当A?a?a?0?时，B?a （B）当A?a?a?0?时，B??a （C）当A?0时，B?0 （D）当A?0时，B?0
(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A?0，若?1,?2,?3,?4是非齐次线性方程组Ax?b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系
（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量 （C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量
(14) 设随机变量X服从正态分布N?0,1?，对给定的???0,1?，数un满足
*P?X?u????，若P?X?x???，则x等于
（A）u? （B）u21??2 （C）u1?? （D）u1??
2三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分8分）
?1cos2x??求lim??. 2x?0sin2xx??
（16）（本题满分8分） 求
???D222x2?y2?yd?，其中D是由圆x?y?4和?x?1??y?1所围成的平面
?2区域（如图）.
（17）（本题满分8分）
设f?x?,g?x?在?a,b?上连续，且满足
?证明：
xabf?t?dt??g?t?dt，x??a,b?，
abax?f?t?dt??g?t?dt
a?baxf?x?dx??xg?x?dx.
ab（18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为Q?100?5P，其中价格P??0,20?，Q为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性Ed?Ed?0?； （Ⅱ）推导
dR?Q?1?Ed?（其中R为收益），并用弹性Ed说明价格在何范围内变化dP时，降低价格反而使收益增加.
（19）（本题满分9分）
x4x6x8设级数????????x????的和函数为S?x?.求：
2?42?4?62?4?6?8（Ⅰ）S?x?所满足的一阶微分方程； （Ⅱ）S?x?的表达式.
（20）（本题满分13分）
???1,3,?3?. 试设?1??1,2,0?,?2??1,a?2,?3a?,?3???1,?b?2,a?2b?，
TTTT讨论当a,b为何值时，
（Ⅰ）?不能由?1,?2,?3线性表示；
（Ⅱ）?可由?1,?2,?3唯一地线性表示，并求出表示式；
（Ⅲ）?可由?1,?2,?3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.
（21）（本题满分13分）
??1b?b?阶矩阵A??b1?b?设n??. ??????bb?1?? （Ⅰ）求A的特征值和特征向量；
（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵.
（22）（本题满分13分）
设A,B为两个随机事件，且P?A??14,P?BA??13,P?AB??12，X???1,A发生，?0,A不发生. Y???1,B发生，?0,B不发生.
求：（Ⅰ）二维随机变量?X,Y?的概率分布； （Ⅱ）X与Y的相关系数?XY； （Ⅲ）Z?X2?Y2的概率分布.
（23）（本题满分13分） 设随机变量X的分布函数为
?F?x;?,????1????????,x??, ??x??0,x??.其中参数??0,??1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本. （Ⅰ）当??1时，求未知参数?的矩估计量；
令
（Ⅱ）当??1时，求未知参数?的最大似然估计量； （Ⅲ）当??2时，求未知参数?的最大似然估计量.