（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??；
T3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵。
2??（22）（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为
6?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，
?4?0, 其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
2（Ⅰ）求Y的概率密度fY?y?； （Ⅱ）Cov(X,Y)；
（Ⅲ）F???1?,4?。 ?2?（23）（本题满分13分） 设总体X的概率密度为
0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,
?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数。
（Ⅰ）求?的矩估计； （Ⅱ）求?的最大似然估计。
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限limxsinx??2x?______. 2x?1(2) 微分方程xy??y?0满足初始条件y?1??2的特解为______. (3) 设二元函数z?xex?y??x?1?ln?1?y?，则dz?1,0??______.
(4) 设行向量组?2,1,1,1?,?2,1,a,a?,?3,2,1,a?,?4,3,2,1?线性相关，且a?1，则a?______.
(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,?,X中任取一个数，记为Y，则
P?Y?2??______.
(6) 设二维随机变量?X,Y?的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 若随机事件?X?0?与?X?Y?1?相互独立，则a?______，b?______.
二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(7) 当a取下列哪个值时，函数f?x??2x?9x?12x?a恰有两个不同的零点.
32（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 (8) 设I1?中D???cosD2x?yd?,I2???cos?x?y?d?,I3???cos?x?y22222DD22?d?，其
??x,y?x?y2?1，则
?（A）I3?I2?I1 （B）I1?I2?I3 （C）I2?I1?I3 （D）I3?I1?I2 (9) 设an?0,n?1,2,?,若
??an发散，???1?n?1n?1??n?1an收敛，则下列结论正确的是
?（A）
?an?1?2n?1收敛，
?an?1?2n发散 （B）
?an?1??2n收敛，
?an?12n?1发散
（C）
??an?12n?1?a2n?收敛 （D）??a2n?1?a2n?收敛
n?1(10) 设f?x??xsinx?cosx，下列命题中正确的是 （A）f?0?是极大值，f?????是极小值 2??（B）f?0?是极小值，f?????是极大值 ?2?????也是极大值 ?2?????也是极小值 2??（C）f?0?是极大值，f?（D）f?0?是极小值，f?(11) 以下四个命题中，正确的是
（A）若f??x?在?0,1?内连续，则f?x?在?0,1?内有界 （B）若f?x?在?0,1?内连续，则f?x?在?0,1?内有界 （C）若f??x?在?0,1?内有界，则f?x?在?0,1?内有界 （D）若f?x?在?0,1?内有界，则f??x?在?0,1?内有界 (12) 设矩阵A?aij??3?3满足A*?AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.
若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为
（A）13 （B）3 （C） （D）3 33(13) 设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则
?1,A??1??2?线性无关的充分必要条件是
（A）?1?0 （B）?2?0 （C）?1?0 （D）?2?0 (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）
三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分8分） 求lim??1?x1???.
x?01?e?xx??（16）（本题满分8分）
22?x??y?2?g2?g?y设f?u?具有二阶连续导数，且g?x,y??f???yf??，求x. 22xy?x?y????（17）（本题满分9分） 计算二重积分
??xD2?y2?1d?，其中D???x,y?0?x?1,0?y?1?.
（18）（本题满分9分） 求幂级数
?1?x???2n?1?n?1??1?2n在区间??1,1?内的和函数S?x?.
（19）（本题满分8分）
设f?x?,g?x?在?0,1?上的导数连续，且f?0??0,f??x??0,g??x??0.证明：对任何???0,1?，有
?a0g?x?f??x?dx??f?x?g??x?dx?f?a?g?1?
01（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0,???x1?bx2?cx3?0,（ⅰ）?2x1?3x2?5x3?0, 和 （ⅱ）? 2??x?x?ax?0,?2x1?bx2??c?1?x3?0,3?12同解，求a,b,c的值.
（21）（本题满分13分） 设D??矩阵.
?AT?CC??为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n阶B??Em （Ⅰ）计算PDP，其中P???OT?A?1C??； En?T?1 （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B?CAC是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量?X,Y?的概率密度为
?0,0?x?1,0?y?2x,f?x,y???
1,其它.?求：（Ⅰ）?X,Y?的边缘概率密度fX?x?,fY?y?； （Ⅱ）Z?2X?Y的概率密度fZ?z?； （Ⅲ）P?Y???11?X??. 22?（23）（本题满分13分）
2设X1,X2,?,Xn?n?2?为来自总体N0,?的简单随机样本，其样本均值为X，
??记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.