求极限limx?01sinx. lnx2x(16) （本题满分10分）
设z?z(x,y)是由方程x?y?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数
22且????1时.
（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记u?x,y??1??z?z??u?，求. ??x?y??x?y??x(17) （本题满分11分） 计算
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}.
D(18) （本题满分10分） 设f?x?是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t，有（Ⅱ）证明G?x???t?2tf?x?dx??f?x?dx；
02?x0?2f?t??t?2f?s?ds?dt是周期为2的周期函数．
?t????(19) （本题满分10分）
设银行存款的年利率为r?0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？
(20) （本题满分12分） 设n元线性方程组Ax?b，其中
?x1??1??2a1??x??2??0?a2a?2?，x???，b??? A???????????1???????2xa2a??n?n?0??n?（Ⅰ）求证行列式A??n?1?a;
n（Ⅱ）a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； （Ⅲ）a为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。 （21）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量，向量a3满足
Aa3?a2?a3，
（Ⅰ）证明a1,a2,a3线性无关； （Ⅱ）令P??a1,a2,a3?，求P?1AP. （22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概3?10?y?1率密度为fY?y???，记Z?X?Y
0其它?（Ⅰ）求P?Z???1?X?0?； 2?（Ⅱ）求Z的概率密度fZ(z)． （23） （本题满分11分）
?设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,2121n2，T?X?S. S?(X?X)?in?1i?1n221n)的简单随机样本.记X??Xi，
ni?1（Ⅰ）证明T是?的无偏估计量. （Ⅱ）当??0,??1时，求DT.
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2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上
?(1) 当x?0时，与x等价的无穷小量是（）
（A）1?ex （B）ln(1?x) （C）1?x?1 （D）1?cosx
(2) 设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是（）
f(x)存在，则f(0)?0
x?0xf(x)?f(?x)（B）若lim存在，则f(0)?0
x?0xf(x)（C）若lim存在，则f'(0)存在
x?0x（A）若lim
（D）若limx?0f(x)?f(?x)存在，则f'(0)存在
x(3) 如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是（）
?x0f(t)dt,
35F(?2) （B）F(3)?F(2) 4435（C）F(?3)?F(2) （D）F(?3)??F(?2)
44（A）F(3)??(4) 设函数f(x,y)连续，则二次积分（A）（C）
???2dx?1sinxf(x,y)dy等于（）
1?10dy????arcsinyf(x,y)dx （B）?dy?0???arcsinyf(x,y)dx
?dy??01??arcsiny2f(x,y)dx （D）?dy??01??arcsinyf(x,y)dx
2(5) 设某商品的需求函数为Q?160?2?，其中Q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）40 (6) 曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（） x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 (7) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（） （A）?1??2，?2??3 ，?3??1 (B)
?1+?2，?2+?3，?3+?1
（C）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1
?2?1?1??100?????(8) 设矩阵A???12?1?，B??010?，则A与B（）
??1?12??000?????（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）
（A）3p(1?p) (B) 6p(1?p) (C) 3p(1?p) (D) 6p(1?p)
(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示X, Y的概率密度，则在Y?y条件下，X的条件概率密度fXY(xy)为（）
（A）fX(x) (B) fY(y) (C)fX(x)fY(y) (D)
222222fX(x) fY(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
x3?x2?1(11) lim(sinx?cosx)?________.
x??2x?x3(12) 设函数y?1(n)，则y(0)?_________. 2x?3yxxy(13) 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则x?z?z?y________. ?x?y(14) 微分方程
dyy1y3??()满足yx?1?1的特解为y?__________. dxx2x?0100???0010?,则A3的秩为_______. (15) 设距阵A???0001???0000??1(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________.
2三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性。