上海市进才中学数学作业册 高一上册
§2.5 不等式的证明（2）
A组
1、x?3___>_________2x (填>,<)
2、a?b____?________2(a?b?1) (填?,?)
3、设p?1?2x4,q?2x3?x2，则p,q的大小关系为___p?q__________ 4、 A?x2?5x?3,B??x2?3x?5,则A_____?_____B (填?,?)
222xy，则A、B的大小关系是___A?B_________ ,B?1?x1?y16、若a2?b2?1,c2?d2?1,则abcd的最大值是____________
45、已知x?y?0,设A? B组
一、填空题 1、若
ab11??0，给出如下四个不等式：①a?b?ab；②|a|?|b|；③a?b；④??2。
baab 其中正确的不等式的序号是___①④__________。
acac1ac和（?）之间的代数式是_____(?)___ (只要写出一个即可)。
2bdbbdda?b3、若a?b?0，M?{x|b?x?}，N?{x|ab?x?a}，
2a?b则M?N?__{x|ab?x?}____________。
24、设a?b,c?d，给出如下四个不等式，其中正确的是______④______（写出序号即可）。
2、一个大小介于
①(a?d)2?(b?c)2；②(a?c)2?(b?d)2；③ac?bd；④ac?bd?ad?bc。
1311511175、 观察下列式子：1?2?,1?2?2?,1?2?2?2?,?，则可以猜想的结论为
234223234___________________________。
1112n?11112n?1?1??????,n?2） （1?2?2???，或写作
nn?12232n223(n?1)2
二、选择题
6、当不等式b2c?c2a?a2b?bc2?ca2?ab2恒成立时，实数a,b,c之间的关系式不可能成立的是 （ D ） （A）a?b?c （B）b?c?a （C）c?a?b （D）c?b?a
b?R，则“a?b”是“a?7、设a、11?b?”的什么条件？ （ D ） ab（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 三、解答题
ab??a?b。 8、已知a?0,b?0，证明不等式：ba8．
ab?ba?a?b?(a?b)(a?b)ab，
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若a?b?0，则a?b，∴若b?a?0，则b?a，∴
(a?b)(a?b)ab?0???a?b；
baab(a?b)(a?b)ab?0???a?b；
baababab??a?b。综上，??a?b。 若a?b?0，显然baba用综合法或分析法证明也可。
abb为正常数，x、9、已知a、y为正变量，且??1，求x?y的最小值。
xyabb?0,x、y?R，且??1， 9．∵a、xyabaybx?)?a?b?2ab?(a?b)2。 ∴x?y?(?)(x?y)?a?b?(xyxy 当且仅当
xaaybx?，即?时，x?y取得最小值(a?b)2。 xyybC组
b、c均为正数，且a?b?c?1，求证： 10、已知a、1111；（2）???9。 3abc2210．（1）1?(a?b?c)?a?b2?c2?2ab?2bc?2ca，
（1）a2?b2?c2? ∵a2?b2?2ab,b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，∴a2?b2?c2?ab?bc?ca， 即1?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?3(a2?b2?c2)，∴a2?b2?c2?1。 3111a?b?ca?b?ca?b?cbacacb（2）??????3?(?)?(?)?(?)?3?6?9。
abcabcabacbc
a?b,a、b?S。
1?ab（1）若这种运算满足：(a*b)?c?a?(b*c)，则称该运算满足结合律。判断该运算是否满足结
合律，并说明由；
b?T，都有a?b?T，则称运算*对于T是封闭的。判断该运算对S是否封 （2）若对任意的a、 闭？并说明理由。
a?b?c?abc解：（1）易证(a*b)?c??a?(b*c)，
1?ab?bc?ca故该运算满足结合律。
（2）若运算对S是封闭的，其充要条件是
a?b||?1?(a?b)2?(1?ab)2?(1?a2)(1?b2)?0， 1?ab 由已知条件可知：|a|?1且|b|?1，故上述不等式显然成立。
所以运算对S是封闭的。
11、设S?{x||x|?1,x?R}。对集合S的元素定义一种运算“?”：a?b?
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不等式单元复习（2）
一、填空题
1、若不等式x2?3x?m?0的解是?2?x?5，则m?____?10_________。
?x2?2x?15?052、不等式组?2的解集为____[?3,?1)?(,5]__________。
3?3x?2x?5?03、若二次方程kx2?kx?2?0的无实数解，则实数k的范围是___(?8,0)___________。
4、已知b克糖水中有a克糖（其中b?a?0），若再添上m克糖（m?0），则糖水就甜了。 试根据这个事实提炼一个不等式：_______
a?ma?_______________。 b?mb5、已知实数a,b满足0?a?1,?1?b?0，且|a|?|b|，则在四个数a2?b2，a?b，2|ab|，
2|ab|中，最小的一个数是__2|ab|______。
二、选择题
6、已知三个不等式：①ab?0；②
cd?；③ bc?ad。以其中两个为条件，余下一个作结论，ab则可以构成真命题的个数是 （ D ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
b1、c1、a2、b2、c2都是非零实数，方程a1x2?b1x?c1?0与a2x2?b2x?c2?0的解集分7、设a1、别为集合A与B，那么“
a1b1c1??”是“A?B”的 （ D ） a2b2c2（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件
三、解答题
8、已知集合A?{xx2?2x?24?0,x?R}，B?{xx2?4ax?3a2?0,x?R}， （1）若A?B??，求实数a的取值范围；（2）若A?B?A，求实数a的取值范围。 8．A?{x|?4?x?6}，B?{x|(x?a)(x?3a)?0}。 （1）若A?B??：
①a?0时，B???A?B??；②a?0时，B?{x|a?x?3a}，∴a?6； ③a?0时，B?{x|3a?x?a}，∴a??4。 综上，a??4，或a?0，或a?6。
（2）若A?B?A，即B?A：
①a?0时，B??，显然B?A；②a?0时，3a?6?0?a?2；
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③a?0时，3a??4???a?0； 综上，?434?a?2。 39、已知不等式ax2?bx?c?0的解集是(?,?)(0????)，求不等式cx2?bx?a?0的 解集。
b???????0??a解：??a?0,b?0,c?0。
c??????0?a?b???11?x?x?????12?c??????设方程cx2?bx?a?0的两根为x1和x2，则?，
a11?x?x???12?c???所以x1?1?,x2?1?。又c?0，所以不等式cx2?bx?a?0的解集为(??,1?)?(1?,??)。
10、已知某型号的汽车在某种路面上的刹车距离S（米）与汽车速度x（千米/小时）的关系是：
S?125x?x，若该车在行驶过程中发现前面40米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于60365米处停车，问该汽车最大限制时速应是多少？（设汽车从发现障碍物到刹车经过1秒钟）
11．据题意，
1251000x?x?x?40?5，整理得：x2?25x?2100?0， 60363600 由实际问题，x?0，于是0?x?35，所以，最大限制时速为35千米/小时。
11．设y?x?2，x?(0,2)?(2,??)。 x?11?2(x?2)，因为 x?1（1）求证：x?2与y?2异号；（2）问x与y哪一个更接近2。 解：（1）证明：由题设知x?2?0，y?2?0，又y?2???x?(0,2)?(2,??)所以
1?2?0，故x?x?12与y?2异号。
2?12?1|x?2|，0??1，x?1x?1（2）比较|x?2|与|y?2|的大小。由（1）得|y?2|???|y?2|?|x?2|，y更接近2。
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