考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图． 分析： （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可； （2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． 解答： 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD， ∵CF∥AB ∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED， 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AE=CF， ∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA， ∴四边形AECF为菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线． 5.（2017?孝感，第20题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
考点：作 图—复杂作图；直线与圆的位置关系． 分析：（ 1）根据角平分线的作法求出角平分线BO； （2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案． 解答：解 ：（1）如图： （2）AB与⊙O相切． 证明：作OD⊥AB于D，如图． ∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB， ∴OD=OC， ∴AB与⊙O相切． 点评：此 题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．
尺规作图
1. .在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD=AC，∠B=250，则∠ACB的度数为 . 答案：1050.
解析：由①的作图可知CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500,又∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050.
1BC的长为半径作弧，2三、解答题
1．（2017?湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图 分析： （1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． （2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可． 解答： 解：（1）答图如图： （2）作CD⊥MN于点D， 由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°， ∵在Rt△CMD中，∴MD==； =tan∠CMN，
∵在Rt△CND中，∴ND==CD； =tan∠CNM， ∵MN=2（+1）km， ∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km， 解得：CD=2km． ∴点C到公路ME的距离为2km． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大． 2． （2017?江西抚州，第15题，5分） 如图，△ABC与△DEF关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.
解析：利用轴对称性质：对应线段（或延长线）的交于对称轴上一点. 如图 ，直线l 就是所求作的对称轴.
3. （2017?浙江杭州，第20题，10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
考点： 作图—应用与设计作图． 分析： （1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可； （2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆． 解答： 解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5； 即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示： （2）如图所示： 当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5； 当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为∴当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π； ，
当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π． 点评： 此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角形是解题关键． 4.（2017?甘肃白银、临夏,第21题8分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°． （1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
考点： 作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质． 专题： 作图题；证明题；压轴题． 分析： （1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA． 解答： （1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线； （2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，