第 4 讲：直杆、曲杆的受力分析。
要 求：熟练掌握直杆的计算並绘内力图；了解曲杆的受力特点和计算方法。 重 点：简捷法作静定单跨梁的内力图。
第二章 静定结构的内力计算
本章讨论静定结构（梁、拱、刚架、桁架等）的受力分析问题，其中包括支座反力和内力计算、绘内力图、受力性能的分析等内容。
注意结构力学与材料力学之间的关系。在材料力学中已经讨论单根杆件的计算问题；结构力学中要研究的则是整个结构的计算问题。单杆计算是结构计算的基础，结构力学常采用将整个结构分解为杆件或单元的计算问题。
先简略复习单杆受力分析，再配合构造分析讨论静定结构的一般分析方法，及梁、拱、刚架、桁架等典型结构的分析方法；最后对静定结构的受力特性和结构形式的合理选择等问题作综合性的讨论。
§2－1 直杆的受力分析
1、用截面法求指定截面的内力
在任意荷载作用下，平面杆件任一截面上一般有三个内力分量，轴力N、剪力Q、弯矩M。 ⑴ 正负号规定：
轴力以拉为正，以压为负；剪力以绕隔离体顺时针转者为正，反之为负；弯矩以水平梁下侧纤维受拉为正，反之为负。 ⑵ 隔离体受力图
计算截面内力的基本方法是截面法。应用时要注意以下几点： ① 隔离体与其周围的约束要全部截断，以相应的约束力代替。
② 约束力要符合约束的性质：截断链杆加轴力；截断受弯杆加轴力、剪力和弯矩。不同支座分别用相应的反力代替。
③ 隔离体受力图只画隔离体本身所受的荷载与截断约束处的约束力。 ④ 隔离体上的已知力按实际方向画出，未知假设为正号方向。由隔离体平衡条件解得未知力时，其符号就是其实际的正负号。 ⑶ 计算法则（材力已讨论）
① 轴力 =（±）截面任一边所有外力沿杆轴切线方向的投影的代数和。 ② 剪力 =（±）截面任一边所有外力沿杆轴法线方向的投影的代数和。 ③ 弯矩 =（±）截面任一边所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。
2、荷载与内力之间的关系
⑴ 微分关系 弯矩M、剪力Q与荷载集度q的关系
在荷载连续分布的直杆段内，qx、qy 分别为沿x和y方向的荷载集度。取微段dx为隔离体如图2-3所示，其中x、qx向右为正，y、qy向下为正。由微段的三个平衡条件可得 q
y
dN??qx （2－1） dxdQ??qy （2－2） dxQ N M Q+d Q qx N+d N M+d M
dx
dM?Q （2－3） dxd2M??qy （2－4） 2dx上述微分关系的几何意义：
① 轴力图在某点的切线斜率等于该点处的荷载集度qx，但符号相反。 ② 剪力图在某点的切线斜率等于该点处的荷载集度qy，但符号相反。 ③ 弯矩图在某点的切线斜率等于该点处的剪力。 ④ 弯矩图在某点的二阶导数（曲率）等于该点的荷载集度qy，但符号相反。 内力图形的特点
① 在qx = 0的区段，N图为水平线；在qx为非零常数区段，N图为斜直线。 ② 在qx = 0的区段，Q图为水平线，M图为斜直线。在qy为非零常数区段，Q图为斜直线，M图为二次抛物；当荷载向下时，M曲线向下凸。
弯矩图的极值：剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上剪力一定等于零。
Q ⑵ 增量关系
N mQ+d Q Px Py N+d N
M M+d M
① 水平集中力Px处：轴力图发生突变，突变差值
dx 等于该集中力的大小；剪力图弯矩图不变，是连续的。
② 竖向集中力Px处：剪力图发生突变，突变差值等于该集中力的大小；弯矩图发生转折，形成尖角：轴力图不变，是连续的。
③ 力偶m作用处：剪力图不变，是连续的；弯矩图发生突变，突变差的绝对值为该集中力偶的大小。
⑶ 积分关系
3、分段叠加法作弯矩图
叠加法作某区段梁的M图 mi 如欲作i k段的M图。取出i k段，将此脱离体与相应的简支梁在均布荷载q和
两端力m i 、m k作用下的受力相比较 R i＝ mi Q ik 、R k＝ Q ki，∴两者完全相同。
步骤：
在求得区段两端的截面弯矩后，可先确定m i、m k的两个竖标，再将这两个竖标的定点以虚线相连，然后暂以虚线为基线，将相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加上去。则最后所得的图线与原定基线之间所包含的图形即为实际的弯矩图。
绘制内力图的一般步骤
⑴ 求支座反力。
⑵ 选定外力的不连续点（集中力、力偶作用点，分布荷载的起点和终点等）为控制截面，求出各控制截面的剪力值和弯矩值。
⑶ 绘内力图。根据各控制截面的剪力值和弯矩值，利用上述规律可画出各段的剪力图和弯矩图。
作内力图时规定：轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图绘在杆件受拉一
q
mk
Qik Qki mk
ql2/8 mi
ql2/mk
侧，不用注明正负号。
举例：
计算並绘图示外伸梁的内力图（用叠加法作DE段的M图）。
⑴ 求支座反力
VA = 11.22KN (↑) VB = 19.78KN (↑) ⑵ 简捷法作内力图
11.22 （＋）
10
10KN·m 15KN 2KN/m 5KN·m 10KN
A 2m C 2m D 3m E 1m F 1m B 1m G
Q（KN）
A
D
C
3.78
（－）
E
9.78
（＋）
B
E
5.22 4.56 10
G
M（kN m） A
10
C D
F 0.22 B
G
2.25 24.88 32.44 4、斜杆的受力分析
斜杆计算的特点：杆轴与横截面都是倾斜的，截面的轴力与剪力方向也是
倾斜的。
如图所示简支斜AB，作其内力图。
与相应简支水平梁（水平跨度、竖向荷载）比较，分别用平衡条件计算，可得以下关系： ⑴ 求支座反力
q
qlqloooXA?XA?0，YA?YA?，YB?YB?。
22B
⑵ 求任一截面上的Mc、Qc、Nc方程：
YB
∑M k = 0 ：Mc－VA x＋ qx2/2 = 0
Mc＝ VA x－ qx2/2 = M oc
α XA A ∑y’ = 0 ：Qc－VA cosα＋ qx cosα= 0
l Qc＝ ( VA－ qx) cosα
YA ＝ (ql/2－ x) cosα
q ＝ Q oc cosα
x’
∑x’ = 0 ：Nc＋VA sinα－q (sinα) x = 0 Nc Nc＝－ VA sinα＋q x sinα
Mc ＝－（ VA－ qx）sinα
Qc XA A α ＝－（ql /2－ qx）sinα
＝－ Q oc sinα X ⑶ 内力图的绘制：
如图2-11（b）（c）（d）所示。
YA y’ §2－2 曲杆的受力分析
曲杆计算的特点：在荷载作用下，横截面上一般有三个内力分量，轴力N、剪力Q、弯矩M。与斜直杆相比，曲杆横截面的方向是逐点变化的，需由曲杆轴线方程的一阶导数来确定。
讨论简支曲梁在竖向荷载作用下的受力特点：
与相应简支水平梁（水平跨度、竖向荷载）比较，分别用平衡条件计算，可得以下关系；（与斜杆相似）
oo， YA?YA， YB?YBo XA?XAooo， QC?QCMC?MCco?n， NC??QCsin?
式中φ是曲梁各点切线的倾角，自水平轴至杆轴切线为逆时针方向时φ为正号。
举例：
例2-3：P39图2-14 a所示简支曲梁，试求曲粱的内力。
例2-4：P39图2-15 a所示悬臂圆弧曲梁，试求曲粱的内力。
第 5 讲：静定结构支座反力的分析方法；静定多跨梁。
要 求：掌握各类静定结构的计算顺序及反力的计算；掌握静定多跨梁的计算。 重 点：静定结构反力的计算方法；静定多跨梁的计算。
§2－3 静定结构支座反力的分析方法
通过组成分析可以了解结构的组成次序，由组成次序可以说明结构各部分之间的支承关系。在荷载作用下，这种支承关系反映结构受力时各部分之间的传力关系，根据传力关系可确定结构分析的计算次序。 1、 结构分析计算次序应与其几何组成次序相反
在静定结构的受力分析中，一般需先求支座反力，支座反力计算的正确是内力计算准确的保证。
实际计算时，先选择一定的次序截取单元（杆件），然后依次取单元为隔离体，应用平衡方程求出该单元相关的约束力，当最后一个单元计算完毕，即所有的约束力全部求出。
如图2-17 a所示多跨静定梁，根据几何构造分析，组成次序为AC→CE→EG；结构受力时各部分之间的传力关系为AC←CE←EG，由传力关系可确定结构分析的计算次序为AC←CE←EG。三根梁的受力分析如图2-17 b、c、d所示。
合理选择截取单元（杆件）的次序，使其与结构的几何组成次序相反，计算可以简便地进行。
举例：
例2-6：P42图2-18 a所示静定多跨刚架，求支座反力。
解：为静定多跨刚架，先求附属部分AD、GJ，然后求CEFH部分。
例2-7：P42图2-19 a所示静定桁架，求支座反力。 2、 三铰结构的反力计算方法
例：图2-20 a所示静定三铰刚架（支座等高）。
先取刚架整体为隔离体，求竖向反力VA 、VB ，並有HA = HB ；再取半边刚架为隔离体，求水平反力HA ，並得HB 。
例：试计算如图所示三铰刚架的支座反力。 10kN/m C C
HC
E D E VC
B B HB A HB HA6m VB 6m 6m VA VB
先取刚架整体为隔离体，求竖向反力：
ΣM B = 0， VA ×12＋(15×4)×2 －(10×6)×9= 0 得 VA = 35 KN(↑) ΣM A = 0， VB ×12－(15×4)×2 －(10×6)×3= 0 得 VB = 25 KN(↑)。 再取半边刚架为隔离体，求水平反力HB ：
ΣM C = 0， HB ×6 - VB×6 = 0 得HB = VB = 25 KN (←)
15kN/m 2m 4m 4m 2m