由上面分析可得如下结论：P96～97。 ⑵ 拱式桁架（有推力）
拱式桁架支座反力的计算与实体三铰拱相同。求出反力后，各杆的轴力计算与一般桁架相同。
由于推力的作用，拱式桁架弦杆的轴力比梁式桁架的轴力小得多，且杆件主要是承受压力。适用于大跨度结构
悬式桁架桥的水平支座反力是向外受拉的，如图2- 92所示。 7、组合结构
由轴力杆和梁式杆组成。
轴力杆为两端铰接的链杆，内力只有轴力，梁式杆为受弯构件，内力一般有弯矩、剪力、轴力。图2- 93 a所示为下撑式五角形屋架。
组合结构的计算顺序：先求轴力杆的内力，再计算梁式杆的内力。 举例：
例2-30：P100试作图2-95 a所示下撑式五角形组合屋架的内力图。 本例题的进一步讨论：影响下撑式五角形组合屋架内力状态的主要因素 ⑴ 高跨比 f / l。轴力NDE可用三铰拱的推力公式计算 NDE = Mco/ f 高跨比愈小，轴力NDE愈大，屋架轴力也愈大，与三铰拱类似。
⑵ f1 与 f2 的关系。当高度f确定后，内力状态随f1 与 f2 的比例不同而改变。图2-96中所示为三种情况，从中可看出：
弦杆轴力的变化幅度不大，但上弦杆弯矩的变化幅度很大。
当坡度（f1）减小时，上弦杆负弯矩增大；当f1 = 0时，上弦坡度为零，为下撑式平行弦组合结构，上弦全部为负弯矩。
当坡度（f1）加大时，上弦杆正弯矩增大；当f2 = 0时，为一个帶拉杆的三铰拱式屋架，上弦全部为正弯矩。
当f1 =（ 0.45～0.5）f 时，上弦杆结点F处的负弯矩值与两个节间的最大正弯矩值大致相等，比上述两种极限情形小得多。
12kN/m 例：试计算示静定组合结构。 A B VA = VB = 72 KN(↑) ⑵ 求轴力杆的内力
用截面法将FG杆截断及拆除铰C，取结构左边部分为隔离体： 由ΣM C = 0得
72?6?72?3NFG??108KN
2取梁式杆AC为隔离体：
12?6?3NDF??54KN
4取结点F为隔离体：由ΣX = 0 得 NFA?54?5?120.7KN ⑶ 绘梁式杆的内力图
NAC = NCB = 106 kN
A D C 4m
2m 4m
⑴ 计算支座反力
D F C E G 2m 2m
12kN/m HC VC 2m NFA α NFD VA 4m
F 2m 24 NFG
24 24 F NFG
A 24 D C E 30 ㈩ C ㈠ E 24 B M图（kN m） 18 A ㈩ 24 ㈩ ㈠ D 30 B ㈠ 18 Q图（kN）
第11讲：用刚体虚位移原理求静定结构内力；静定结构总论
要 求：了解用虚位移原理求静定结构内力的方法；了解静定结构的性质受力
特点；提高、深化对结构分析方法的理解。 重 点：虚位移原理；静定结构分析方法
§2－8 应用刚体体系虚位移原理求静定结构内力
刚体体系：不考虑材料应变，各杆只发生刚体运动的体系。 1、虚位移原理
质点系的虚位移原理：一个具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：所有作用于此质点系的主动力在任意虚位移上所作功的总和恒等于零。
虚位移是指为约束条件所允许而虚设的无限小位移，也称“可能位移”。“虚设”是指位移和实际力系彼此无关，而可独立地设定。
理想约束是指其约束力在可能位移上所作的功恒等于零的那种约束。光滑铰结和刚性链杆是理想约束的例子。刚体本身不能变形，是具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒等于零。将虚位移原理应用于刚体体系，便可利用虚功方程来确定体系在平衡状态下的未知约束力。
刚体体系的虚位移原理：刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚体位移上所作的虚功之和等于零。
如图2-111 a所示扛杆，求扛杆平衡时在A点需施加的力X。
扛杆是可绕C点自由转动的几何可变体系。把绕C点的刚体转动取作虚位移，可建立虚功方程如下： XΔX + PΔP = 0 ???（a） 其中：ΔX和ΔP分别为沿X和P方向的虚位移。 X P X???PP
?X A C B b δP
为计算方便，沿X方向的虚位移可设为单位位移，用记号“δ”表示，即
?X?1，?Pb。 ??（负号表示与P方向相反）aA 1δX aB ∴ X???PP?bp。
?Xa归纳几点：
⑴ 虚功方程实际上是平衡方程。通过计算体系的虚功求未知力，称为虚功法。 ⑵ 虚位移是人为虚设的，可设δX = 1。虚位移和实际力系彼此独立无关的。 ⑶ 求解时的一个重要步骤是得出虚位移之间的几何关系。 2、应用虚位移原理求静定结构的约束力 求静定结构某一约束力X的方法：
⑴ 撤除与X（拟求约束力）相应的约束，使原来的静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X变成主动力。
⑵ 把机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移。设与未知力X和荷载P相应的虚位移分别为δX = 1和δP。可写出虚功方程如下：
Xδ
⑶ 求出δ
X + ∑（PδP）= 0
??? （2-21）
X和δP之间的几何关系。代入上式可
X =－∑（PδP） ??? （2-24）
关键的步骤是撤去与拟求约束力相应的约束，并在拟求约束力正方向虚设单位位移，正确地画出虚位移图，用几何关系求出δP。
举例：
例2-34：P112求图2-114 a所示静定多跨梁C点的支座反力X。
例2-35：P113求图2-115 a所示简支梁C截面的弯矩MC。
§2－9 静定结构总论
1、静定结构受力分析的方法
利用用平衡方程解算支座反力和内力，作结构的内力图。 隔离体分析是受力分析的基础：从结构中截取单元（隔离体），将未知的反力和内力暴露出来，使其成为作用于单元（隔离体）上的外力，然后应用平衡方程计算反力和内力。
受力分析注意点：
⑴ 单元的形式及未知力
从结构中截取的单元：结点、杆件或者从结构中截出一部分。
桁架的结点法?结点为单元，桁架的截面法?截出一部分为单元；多跨静定梁分解为若干单跨梁（杆件）? 杆件为单元；刚架分析中常取杆件为单元计算杆端剪力，取结点为单元计算杆端轴力。
在截取的单元上，未知力数目是由所截断约束性质决定的。在链杆截断处，轴力是未知力；在梁式杆截断处，有轴力、剪力、弯矩是未知力；在铰截断处，有水平未知力和竖向未知力。例如图2-118所示。 ⑵ 计算的简化与截取单元的次序
每一个单元常有几个平衡方程，计算未知力时，要注意选择平衡方程使计算简化。目的在于避免解联立方程，尽可能用一个方程求出一个未知力。
合理选择截取单元的次序，对多跨或多层静定结构，先计算附属部分，然后计算基本部分。对联合桁架，先用截面法求出连接杆求轴力，然后计算其他杆件的轴力。例如图2-120所示多跨多层静定刚架的受力分析。
2、静定结构的一般性质
静定结构与超静定结构的差别
⑴ 在几何组成方面：都是几何不变体系，静定结构无多余约束，超静定结构有多余约束。
⑵ 在静力平衡方面：静定结构的内力（反力）可由平衡条件完全确定，超静定结构的内力由平衡条件不能确定，需要同时考虑变形条件才能得唯一的解答。
静定结构的特性
⑴ 温度改变、支座的位移和制作误差等因素在静定结构中不会引起内力（反力）。例如图2-121所示（P117）。 ⑵ 静定结构的局部平衡特性。
在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部（最小几何不变部分）可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力（反力）必为零。例如图2-122、123所示。 ⑶ 静定结构的荷载等效特性：
当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的
内力不变。等效荷载是指荷载分布虽不同，但其合力彼此相等。例如图2-124所示。
⑷ 静定结构的构造变换特性。
当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。例如图2-125所示。
⑸ 计算自由度W = 0的体系可能存在自内力状态是体系几何可变的标志。
3、各种结构型式的受力特点
结构型式不同角度的分类方法
⑴ 无推力结构和有推力结构：梁和梁式桁架为无推力结构；三铰拱、三铰刚架、拱式桁架等为有推力结构。
⑵ 将杆件分为链杆和梁式杆：桁架的各杆都是链杆；梁、刚架的各杆都是梁式杆；组合结构中的杆件有的是链杆，有的是梁式杆。
链杆中只有轴力作用，杆截面上的正应力均匀分布，能充分利用材料的强度。梁式杆有弯矩作用，杆截面上的正应力为三角形分布，在中性轴附近应力很小，没有充分利用材料的强度。
各种结构型式的特点
⑴ 在伸臂梁、多跨静定梁中，利用杆端的负弯矩可减小跨中的正弯矩。 ⑵ 在有推力结构中，水平推力的作用使杆截面的弯矩峰值减小。 ⑶ 在桁架中，利用杆件的铰接及荷载的结点传递，可使各杆处于无弯矩状态。在三铰拱中，采用合理轴线可使拱处于无弯矩状态。从力学角度来看，无弯矩状态是一种合理的受力状态。
几种结构型式主要内力数值的比较
例如图2-129（P121）所示。
几种结构型式在相同跨度和相同荷载（全跨均布q）作用下的主要内力值： ⑴ 简支梁：跨中弯矩（Mmax）M16OCql2。 ?8⑵ 伸臂梁：使支座负弯矩与跨中正弯矩相等，伸臂长为0.207l。此时弯矩峰
O值（｜Mmax｜）下降为MC。
⑶ 带拉杆的三角形三铰结构：
O1O拉杆中拉力H?MC。由此拉力作用，上弦杆的弯矩峰值下降为MC。
f4⑷ 抛物线三铰拱：
OMC由于拱轴是合理轴线，拱处于无弯矩状态。拉杆中拉力仍为 H?。 f⑸ 梁式桁架：
OMC在结点荷载作用下，各杆处于无弯矩状态。中间下弦杆的轴力为N? h⑹ 组合结构：使上弦杆负弯矩与跨中正弯矩相等，取f1 = 5 f /12，f2 = 7 f /12。此
O1MOC时上弦杆弯矩峰值下降为MC，中间下弦杆的轴力为N?。 24f不同结构型式，均有其各自适用的范围，选择时，应进行全面的分析和比
较，获得最佳方案。