2、多层多跨静定刚架的计算
首先进行几何组成分析，分清基本部分和附属部分，然后按先附属后基本的原则求出各支座反力。然后再逐杆计算各控制截面的内力绘内力图。
举例：
例2-15：P59作图2-39 a所示多层刚架的弯矩图。
2KN
D 例：试作图示刚架的内力图。 ① 基本部分和附属部分 基本部分：BCDE的部分 附属部分：AD的部分 ② 计算顺序 先计算附属部分AD上的约束反力VA和HD、VD，再将HD、VD反向作用在基本部分上，计算基本部分的反力，然后再按
A 简捷法绘内力图。
2kN/m 2kN/m 8KN E ⑴ 分析（与多跨静定粱相似）
A 2m VD HD HD VD B VB 16 16 D 6 B 2m 2KN D E 4m 2m 8KN 45 OC 2m 45 OC HC VC HB ⑵ 求支座反力
VA 附属部分AD：
VA = 8 KN (↑) HD = 8 KN (←) VD = 8 KN (↓)
基本部分BCE：
VC = 9.5 kN (↑) HC = 1.5 kN (→) VB =－7.5 KN (↓) HB = 9.5 KN (←) ⑶ 简捷法作内力图 8
8 ㈠ ㈠ A B N图（KN） 9.5 ㈠ 6 12 E A B M图（kN m） 8 6 ㈠ 1.5 E ㈩ D 1.5 A ㈩ 450 C 8 ㈩ 7.5 13.4 ㈠ ㈠ C B Q图（KN）
450 C 例：试作图示复合静
定刚架的内力图。 1、分析
该刚架由两个简支刚架和一个三铰刚架组合而成。其中三铰刚架为基本部分，两个简支刚架为附属部分。 2、求支座反力
10kN 10kN 10kN E F 2kN/m G 2kN/m 4m A 4m B 2m 2m 2m C 2m D 4m 2m 先求附属部分简支刚架的支座反力，然后求基本部分三铰刚架的支座反力，如下图所示。
18kN 18kN 18kN
VF=6kN E VD HF HG=12kN F G HG G F HF=12kN VF VG=6kN
HB=6kN B C A D HC 4m 2m 2m 2m 2m VD=6kN VA=6kN VC=9kN VB=21kN 54 54 18 18 54 54
24 24 E
24 24 F G 24 24 B C A D
M图（kN m）
27
㈩ 9
E 6 ㈠ ㈠ 18 ㈩ 18 9 ㈩ 12 12 G ㈠ F 27 6 ㈠ ㈩ 6 ㈠ ㈩ 6
B C A D
Q图（kN）
18 ㈠ 12 12 E 27 27 ㈠ ㈠ F ㈠ ㈠ G
21 21 6 ㈠ ㈠ 6
C B A D
N图（kN）
3kN/m 2kN/m 4m 2m 第 8 讲：三铰拱
要 求：了解拱的受力特点及合理拱轴的概念；会用公式求三铰拱的截面内力 重 点：三铰拱的内力计算
§2－5 三 铰 拱
由曲杆组成的三铰结构称为三铰拱。如图2- 45所示为三铰拱的两种形式。 拱的基本特点：
⑴ 水平推力：在竖向荷载作用下产生水平反力，又称水平推力（H），是区别拱与曲梁的主要标志。推力对拱的内力有重要影响。
由于水平推力的存在，对拱支座处基础要求高。为消除水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆承担水平推力，如图2- 45 b所示。
⑵ 高跨比：拱高f与跨度l之比值。是拱的基本参数，常用高跨比为1 ~ 1/10 。 1、三铰拱的支座反力与内力
⑴ 支座反力
如图2- 47所示三铰拱与相应简支梁。 先取整体为隔离体，求竖向反力：
Fb?FP2b2VA?P11?lVB?FP1a1?FP2a2?ld1 a2 a1 P1 D o ?VAb2 b1 C P3 ?FlPiibφ A Piiy f B?Fla?VBo
x l1 l P1 A D C P2 B l2 再取半边拱为隔离体，求水平反力：
H?HA?VA?l1?PM1(l1?a1) ?ffoC三铰拱的竖向支座反力恰好等于相应简支梁的支座反力VA°和VB°，水平推力H 等于相应简支梁截面C的弯矩MC°除以拱高f。
推力H只与三个铰的位置及荷载有关，与各铰间的拱轴线形状无关，即只与高跨比f／l有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力H与拱高f成反比，即f →大则H →小，反之f →小则H →大。 2、内力计算
⑴ 弯矩的计算公式 M NX’ P1 正负号：使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。 D φ 取AD段为隔离体，由ΣM D = 0 得D截面的弯矩
Q M =〔VA X–P1（X – a1 ）〕- H y
y’ 相应简支梁D截面的弯矩M°=〔VA X–P1（X–a1 ）〕 HA VA ∴ M = M°- H y。
即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应截面的弯矩减去拱的推力H所引起的弯矩H y。由此可见，三铰拱中的弯矩比相应简支梁的弯矩为小。 ⑵ 剪力的计算公式
正负号规定：同梁、刚架等
Q =（VA- P1）Cosφ- H Sinφ = Q°Cosφ–H Sinφ
φ为截面K处拱轴切线的倾角（φ为锐角，在左半拱取正，而在右半拱取负）。
⑶ 轴力的计算公式
正负号规定：使截面受压的轴力为正。
N = -（VA- P1）Sinφ- H Conφ = - Q°Sinφ- H Conφ 举例：
例2-17：P66三铰拱及其荷载如图2- 48所示。拱轴方程为y?4fx?(l?x)。 l2求支座反力，并绘制内力图。
例2-18：P69如图2- 50 a所示三铰拱式屋架。上弦通常用钢筋混凝土或预应力混凝土，拉杆用角钢或圆钢，结点D、E不在下弦杆的轴线上，其偏心为e1。求支座反力和内力。
说明：偏心为e1使上弦杆两端点产生负弯矩，因而减小了正弯矩的数值。
4f例：如图示三铰拱，求截面2的内力。拱轴方程 y?2x?(l?x)。
l100 kN 20 kN/m y ⑴ 求支座反力：
C VA = 105 KN， VB = 115 KN，
4 5 3 6 2 H = 82.5 KN。
1 7 ⑵ 求截面2的内力：X2 = 1.5 m A 0 B x8 HB HA 4?4y2??3?(12?3)?3m
1221.5×8 =12 m VB VA 截面2处的切线斜率为
100kN 4f4?4220kN/m tan?2?2(l?2x)?(12?6)? 2A B 123lSinφ2 = 0.555 Cosφ2 = 0.832 M2 = M2°－FH y2 = 67.5 KN
VAo VBo L0LQ2?Q2Cos?2?HSin?2?105?0.832?82.5?0.555?41.6KN R0RQ2?Q2Cos?2?HSin?2?5?0.832?82.5?0.555??41.6KN L0LN2?Q2Sin?2?HCon?2?105?0.555?82.5?0.832?126.9KN R0RN2?Q2Sin?2?HCon?2?5?0.555?82.5?0.832?71.4KN
2、三铰拱的压力线
三铰拱中任一截面D的内力（MD、QD、ND）及其合力RD如图2-51所示。
MD?RD?rD QD?RD?sin?D ND?RD?con?D
其中，rD是由截面形心到合力RD的垂直距离，αD是合力RD与D点拱轴切线间的夹角。
拱截面合力一般是压力，所有截面压力作用点的连线称之为压力线。如果压力线不超出截面的核心，则截面上不出现拉应力。矩形截面拱，截面的核心在对称轴上三等分的中段范围。 3、三铰拱的合理拱轴：
4m 在给定荷载作用下，选取一适当的拱轴线，使拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零。此时，任一截面上正应力分布将是均匀的，拱体材料能够得到充分地利用，这样的拱轴线称为合理拱轴。
求合理拱轴方程
任一截面的弯矩 M = M°- H y。当拱的跨度和荷载为已知时，M°不隨拱轴线改变而变，而- H y则与拱的轴线有关。因此可以在三个铰之间选择拱的轴线形式，使拱中各截面弯矩为零。即M = M°- H y = 0
Mo∴ y?
H例2-19：（P72）试求图2-53示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴。 解：相应简支梁的弯矩方程为
111 M0?qlx?qx2?qx(l?x)
22212ql0MC8ql2H???
ff8fy q C f A B xl 合理拱轴方程为
1qx(l?x)oM4f2??x(l?x) y?ql2FHl28fq A B 例2-20：（P73）试证明均匀水压力作用下三铰拱的合理拱轴是圆弧曲线。图2-5所示。（不详细讨论）
例2-21：（P73）设在三铰拱上填土，填土表面为一水平面，试求在填土荷载作用下三铰拱的合理轴线。（不详细讨论）
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一倒悬链线。
在工程实际中，同一结构往往要受到各种不同荷载作用，通常是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。这样，一般荷载作用下拱产生的弯矩不大。
悬索是一种无弯矩受力状态的结构形式，常用于悬桥。索是柔软的，只受轴向拉力作用；支座处有竖向反力和向外的水平拉力以维持索的平衡。
图2-56所示为一竖向荷载作用下支座等高的悬索。与相应简支梁比较，可
Mo得： VA?V、 VB?V； 悬索的方程（由M = 0得）为： y?
HoAoB可见，悬索的平衡形式与三铰拱的合理轴线相同，不同的是：在向下的竖向荷载作用下，拱的水平反力是向内的推力，而悬索的水平反力是向外的拉力；拱是向上突起的形状，而悬索是下垂的形状；拱受压而悬索受拉。