第 9 讲：静定平面桁架（Ⅰ）
要 求：掌握静定平面桁架的内力计算方法 重 点：桁架内力计算
§2－6 静定平面桁架
1、桁架的特点和组成
桁架广泛应用在大跨度结构中，如图2-57、58、59所示的屋架、桥梁等。 凡各杆轴线和荷载作用线位于同一平面内的桁架称为平面桁架。实际工程中的桁架一般是空间桁架，但有很多可以简化为平面桁架来分析。
桁架计算简图引用的假定
⑴ 桁架结点都是理想铰。 ⑵ 各杆轴线平直並通过铰心。
⑶ 荷载和支座反力都作用在结点上。 理想桁架各杆均为二力杆，只产生轴
力，截面上的应力均匀分布，故材料能得到充分的利用。
实际桁架的情况
实际桁架不能完全符合上述理想情况，其中某些杆件将发生弯曲而产生弯曲应力。按桁架理想情况计算出来的内力称为主内力，不能完全符合理想情况而产生的附加内力称为次内力。
桁架按几何构造特点分类
⑴ 简单桁架：由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体组成的桁架，如图2- 61所示。
⑵ 联合桁架：由两个或几个简单桁架按照几何不变体系的简单组成规则联成一个桁架，如图2- 62所示。
⑶ 复杂桁架：不按上述方式组成的其他形式的桁架，如图2- 63所示。
有关名称
⑴ 弦杆：上弦杆、下弦杆； ⑵ 腹杆：竖杆、斜杆； ⑶ 节间：弦杆上相邻两结点之间的区间。
2、结点法、截面法及其联合应用 轴力与斜杆长的关系
轴力及其分力与斜杆长及其投影的相似 三角形对应边成比例关系：
B NXY?? llXlYN A ly lx N x
y
利用比例关系，可简便地由X或Y推算N，或由N推算X或Y。 ⑴ 结点法
取桁架的结点为隔离体，作用于任一结点的各力组成一个平面汇交力系，可列两个平衡方程解算。
计算中常先假设杆的末知轴力为拉力，计算结果为正，表示为拉力，如为负值，表示为压力。
计算桁架的轴力时，一般先求出支座反力，然后从只有两个未知轴力的结点开始，依次考虑各结点的平衡，求出未知轴力。
举例：
例2-22：P78图2- 65所示为一施工托架的计算简图，求各杆轴力。
例：试用结点法求各杆轴力。 ⑴ 计算支座反力
V1 = 30 KN(↑)，V8 = 10 KN(↑)。 ⑵ 各杆的内力
结点受力图上，假定未知力为拉力，如所得结果为负，则为压力。
结点1：
N13 = - 44.72 KN，N12 = 40 KN。
结点2：
N23 = 0， N25 = N12 = 40 KN。 结点3：
N34 = - 22.36 KN，N35 = - 22.36 KN。 结点平衡的特殊情况（零杆）
⑴ 无荷载作用的两杆结点，则该两杆均为零杆。
⑵ 无荷载作用的三杆结点，其中两杆在一直线上，则另一杆为零杆，在同一直线上的两杆内力相等。
⑶ 无荷载作用的四杆结点，其中每两杆在一直线上，则在同一直线上的两杆内力相等。
N1 N2 N4 N1 = 0 N1 = N2 N1 = N2 α α α N3 = N4
N2 N3 = 0 N2 = 0 N3 N1
举例：
例2-23：P80用结点法求图2- 67所示桁架各杆轴力。
对结点法较熟练后，可不画结点的隔离体图，而在桁架上直接运算，並在图上记下各结点的计算结果。
例：P131判别题2-6-2 e图所示桁架的零杆。
⑵ 截面法
取桁架的某一部分（两个以上结点）为隔离体，作用于隔离体上的各力组成平面一般力系，可列三个平衡方程解算。
计算桁架的轴力时，一般先求出支座反力，然后切断待求杆件（未知轴力）取桁架的某一部分，列平衡方程（力矩方程、投影方程）求出未知轴力。
计算时注意以下方面使计算简化：
① 适当选取截面（平面、曲面或封闭面），一般所截断的杆不多于三根。 ② 适当选择矩心，一般以未知轴力的交点为矩心，尽可能使一个方程只含一个未知轴力，方便计算。未知斜杆轴力可移至适当的位置分解，使其中一个分力对着矩心，求另一分力，再利用比例关系求得轴力。
③ 对平行弦桁架求腹杆内力时，注意用投影方程计算。
N31 N32
10KN 1 2 V1 20KN 3 N34 α 10KN 20KN 3 5 2×4 =8 m 4 2m 7 8 6 V8 N35
举例：
例2-24：P80求图2- 68所示桁架中1、2、3三杆的轴力。
例：试用截面法求出25、34、35三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力
V1 = 30 KN(↑)，V8 = 10 KN(↑)。 ⑵ 求杆的内力
10KN 1 2 5 6 V8 20KN 3 2 N34 N35 N25
10KN 20KN 3 4 2m 7 8 2×4 =8 m 隔离体受力图上，假定未知力为 V1 拉力，如所得结果为负，则为压力。
设想用截面Ⅰ－Ⅰ将25、34、35三杆截断，取桁
10KN 架左边部分为隔离体。
由ΣM3 = 0 得 N25 = 40 KN 1 由ΣM5 = 0 得 N34 = - 22.36 KN
V1 由ΣM1 = 0 得 N35 = - 22.36 KN
例：试求出图示静定桁架中1、2、3三杆的内力。
VA = 21 KN(↑)，VB = 15 KN(↑)。 ⑵ 求杆的内力
A 2 1 B 根据零杆判别方法得： N1 = 0。
3 设想用截面Ⅰ－Ⅰ将2、3等三杆
12kN 24kN 截断，取桁架左边部分为隔离体。 2m 2m 2m 2m
由ΣY = 0 得
12?25?8KN N2?(21?12)?15KN 由ΣM C = 0 得 N3?33
1.5m 1.5m ⑴ 计算支座反力 C 第10讲：静定平面桁架（Ⅱ）；组合结构的内力计算。
要 求：较熟练掌握桁架的内力计算方法；会计算组合结构的内力。 重 点：桁架内力计算示例 ⑶ 结点法与截面法的联合应用
计算中有时联合使用结点法与截面法更为便利。
图2-73 a示一简单桁架，拟求斜杆1、2的轴力。由图2-73 b示结点G的平衡（K形结点），可确定X1与X2的关系，从而建立了Y1与Y2的关系；再由m-m截面左部分的平衡，可计算出Y1与Y2，即可求出N1与N2。
举例：
例2-25：P83求图2-25所示桁架中1、2、3杆的轴力。
练习与讲解：
1、试求出图示静定桁架中1、2、3三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力
10KN 2 B 3m ⑵ 求杆的内力
根据零杆判别方法分析得： N2 = 10 KN。
4m 5结点A：由ΣX = 0 得N1?17.07??27.51KN
3
2、试求出图示静定联合桁架中1、2、3三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力
VA = 30 KN(↑)， VB = 10 KN(↑) ⑵ 求杆的内力
截面Ⅰ－Ⅰ将1等三杆截断，取桁架左边部分为隔离体。
由ΣM C = 0 得
5m 5 kN A E 10 kN D 10 kN 10 kN 4 3 2 1 6m C 5 kN 1 A 3m B 5m 25?8?30?48×2 = 16 m N1??20KN VA 4截面Ⅱ－Ⅱ将1、2、3、4等四杆截断，取桁架左边部分为隔离体。
VB 由ΣM D = 0 N2?Sin60o?2?25?4?10?2?20?3?0 得N2?20?11.55KN 320??6.67KN 3320?65?3?0 得N4???21.67KN 由ΣM E = 0 N4??5?25?5?10?3?10?1?353由ΣM C = 0 N3?3?25?8?10?6?10?4?20?6?0 得N3??3、图解法（略）
4、通路法和代替杆法（略）
5、用零载法检验桁架的几何不变性（简单扼要介绍）
4m 4m VA = 17.07 KN (↑)，HA = 10 KN (←)；
HB = 17.07 KN (→)。
10KN 6、桁架的形式及其力学特性 ⑴ 梁式桁架
讨论平行弦桁架（图2-87 a示）在均布竖向结点荷载作用下的受力特点。 ① 弦杆轴力：
设与桁架同跨度、同荷载的相应简支梁（图2-87 b示）在相应于各结点处（对应矩心）的截面弯矩为Mo，则桁架弦杆的轴力可表示为
Mo N??h式中：下弦杆受拉取正号，上弦杆受压取负号；弦杆轴力变化与Mo图成正比，即端部弦杆轴力小，中部弦杆轴力大。
② 腹杆的轴力：
包括竖杆和斜杆。斜杆的竖向分力和竖杆的轴力分别等于相应简支梁对应桁架节间的剪力Qo，即
Y??Q
式中：斜杆受拉取正号，竖杆受压取负号；腹杆轴力变化与Qo图成正比，即端部腹杆轴力大，中部腹杆轴力小。
图2-88 a所示给出了平行弦桁架结点荷载P = 1作用下各杆内力值（系数）。 以上分析表明，平行弦梁式桁架的受力与相应梁有相似之处。桁架上下弦杆主要承受弯矩，相当于工字梁上下翼缘的作用；腹杆主要承受剪力，相当于工字梁中腹板的作用。但不同的是桁架各杆截面上的正应力均匀分布，且上下弦杆之间的力臂较大，能有效地承受较大的荷载。外形上象一根挖空的梁，整体承受弯矩和剪力，局部只受轴力。 ⑵ 三角形桁架
① 弦杆的轴力：上弦杆水平分力和下弦杆轴力的表达式为：
Mo N??ro式中：Mo是相应简支梁对应矩心的弯矩值，Mo图是抛物线规律变化；r为弦杆至矩心的力臂，自跨中向两端按直线规律变化，要比Mo减少得快，因此，弦杆的轴力由中间向两端递增，即端部弦杆轴力大，中部弦杆轴力小。
② 腹杆的轴力：
由截面法应用力矩方程可看出，两端腹杆轴力小，中间腹杆轴力大；且斜杆是压杆，竖杆是拉杆。
⑶ 抛物线形桁架
① 弦杆的轴力：
上弦结点均落在一抛物线上，竖杆长度和相应简支梁Mo图的纵坐标都是按抛物线规律变化。
因Mo和r的变化规律相同，所以各节间的上弦杆水平分力和下弦杆轴力都相等。因上弦杆倾斜坡度变化不大，因此上弦杆的轴力也接近相等。
② 腹杆的轴力：
因上弦杆水平分力和下弦杆轴力大小相等，但性质相反，故其内力全为零。