2015届高考数学一轮总复习 12-1几何证明选讲
基础巩固强化
一、选择题
1．如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为( )
π
A. B．π 2
3π
C. D．2π 2[答案] B
BC
[解析] ∠A＝∠BCD＝30°，由＝2R，得R＝1，所以圆O的面积为πR2＝π.
sinA
2．(文)如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3 cm，则BC的长为( )
A．12cm B．21cm C．18cm D．15cm [答案] B
[解析] ∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD△FCE，
BDGDEF·GD∴＝，即BD＝＝12cm， EFECEC∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.
(理)如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )
1
63
A．13 B.
56563C. D. 66[答案] C
[解析] 过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG. ∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG， ∴B与E关于FG对称． ∴BE⊥FG，∴BE⊥AH. ∴∠ABE＝∠DAH， ∴Rt△ABERt△DAH. BEAH∴＝. ABAD
1
∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，
2∴BE＝122＋52＝13， BE·AD65
∴FG＝AH＝＝. AB6
3．(文)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连接BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为( )
A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] C
[解析] 由条件知AF＝2，BF＝BE＝1，
2
11
∴S△ADE＝AE×DF＝×4×3＝6，
22
∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S四边形ABCD＝S△ADE＝6.
(理)已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正确的是( )
A．y是x的增函数 B．y是x的减函数
C．y随x的增大先增大再减小 D．无论x怎样变化，y为常数 [答案] D
1
[解析] ∵E、F分别为AP、PR中点，∴EF是△PAR的中位线，∴EF＝AR，∵R固定，∴AR
2是常数，即y为常数．
二、填空题
4．(文)(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
[答案] 23
[解析] 连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，
∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝12＝23，∴BC＝23.
(理)如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABES△DBA＝为________．
3
，则AE的长
[答案] 4cm
[解析] ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE△DBA， ∴S△ABES△DBA＝AB2DB2. ∵S△ABES△DBA＝∴ABDB＝
5.
，∴AB2DB2＝
，
设AB＝k，则DB＝5k，AD＝2k， ∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，
1
∴BD＝5k＝10，AD＝45，S△ABD＝BD·AE＝20，
21
∴×10×AE＝20，∴AE＝4cm. 25．(文)
如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.
[答案]
37
7
[解析] ∵∠POD＝120°，OD＝OB＝1，PO＝2， ∴PD＝PO2＋OD2－2OD·PO·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE·PD＝PB·PC， PB·PC1×337∴PE＝＝＝.
PD77
(理)(2013·广州调研)如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是________．
4
[答案] 22
[解析] 如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝22.
6．(文)(2013·广东梅州联考)如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于________．
[答案] 6
[解析] 设PC＝x，则PD＝PC＋CD＝x＋11， 由割线定理知PC·PD＝PA·PB， ∴x(x＋11)＝5×(5＋7)＝60， ∵x>0，∴x＝4.∴PC＝4，PD＝15. ∵∠PAC＝∠PDB，∠P为公共角， PAAC
∴△PAC∽△PDB，∴＝，
PDBDAC·PD2×15
∴BD＝＝＝6.
PA5(理)
5