由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3. 12．(文)
(2013·湖南)如图，在半径为7的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
[答案]
3
2
AP·PB
[解析] 由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，从而PC＝＝4，所以DC＝5，所以圆心O到弦
DPCD的距离等于53
?7?2－??2＝.
22
(理)(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相3
交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则
2线段CD的长为________．
4
[答案]
3
[解析] 如图，由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，
11
AF·FB
∴FC＝＝2，
EF
FCAFFC·AB8
∵FC∥BD，∴＝，BD＝＝. BDABAF3又由切割线定理知BD2＝DC·DA，
644
又由DA＝4CD知4DC2＝BD2＝，∴DC＝.
93明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．
13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
[答案] 2
[解析] 解法1：∵CD⊥OD，∴OC2＝OD2＋CD2，当OD最小时，CD最大，而OE最小(E为AB的中点)，
∴CDmax＝EB＝2.
AD＋DB2AB2
解法2：由题意知，CD＝AD·DB≤()＝＝4.(当且仅当AD＝DB时取等号)．
24
2
∴CDmax＝2. (理)
12
(2012·广州测试)如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC＝2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD、BD，则
[答案]
2
AD
的值为________． BD
[解析] 连接OD，则OD⊥CD.设圆O的半径为r，则OA＝OB＝OD＝r，BC＝2r.所以OC＝3r，CD＝OC2－OD2＝22r.
由弦切角定理得，∠CDB＝∠CAD， 又∠DCB＝∠ACD，所以△CDB△CAD. ADAC4r所以＝＝＝2.
BDCD22r二、解答题
14．(文)(2012·昆明一中测试)如图，已知A、B、C、D四点共圆，延长AD和BC相交于点E，AB＝AC.
(1)证明：AB2＝AD·AE；
(2)若EG平分∠AEB，且与AB、CD分别相交于点G、F，证明：∠CFG＝∠BGF. [证明] (1)如图，连接BD.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.
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又因为∠BAD＝∠EAB，所以△ABD△AEB， ABAE
所以＝，即AB2＝AD·AE.
ADAB
(2)因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ABC＝∠EDF. 又因为∠DEF＝∠BEG，所以∠DFE＝∠BGF. 又因为∠DFE＝∠CFG，所以∠CFG＝∠BGF.
(理)(2013·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.
(1)求证：PA·PB＝PM·PQ； (2)求证：∠BMD＝∠BOD. [证明] (1)∵∠BAD＝∠BMF，
∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ. (2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ， 又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD， ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF， ∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD， 又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.
15．(文)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.
(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；
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(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．
[解析] (1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知， MD2＝MA·MB.
又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB， 所以MA＝3，AB＝12－3＝9.
(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB， 又MD为⊙O的切线，
由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，
又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角， 即∠BAD＝90°－∠ABD.
又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD， 于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°. 所以∠BAD＝60°.
又四边形ABCD是圆内接四边形， 所以∠BAD＋∠DCB＝180°. 所以∠DCB＝120°.
(理)(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长． [解析] (1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°， ∴点C在⊙O上，
连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD， 又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC， ∵OC为半径， ∴DC是⊙O的切线． (2)∵DC是⊙O的切线， ∴EC2＝EB·EA.
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