又∵EB＝6，EC＝62， ∴EA＝12，AB＝6.
∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC， ∴△ECB△EAC，
BCEC2
∴＝＝，∴AC＝2BC. ACEA2∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝23.
考纲要求
1．了解平行截割定理．理解相似三角形的定义与性质． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．
3．会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理．
4．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 补充说明
1．与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论
(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例． 2．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
(4)直角三角形相似的判定
①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．
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②两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． ③斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
(5)有关结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；内切圆的直径比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
备选习题
1．函数f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的图象与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．
[答案] (0,1)
[解析] f(x)的图象与x轴交于点A(－2011,0)，B(2010,0)，与y轴交于点C(0，－2010×2011)，设经过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，y0)，易知原点O在圆的内部，y0>0，由相交弦定理知，|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|，∴2011×2010＝2010×2011y0，∴y0＝1.
2.
(2013·北京西城模拟)如图，正△ABC的边长为2，点M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM＝________.
[答案]
5－1
2
[解析] 设PM＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA即x·(x＋1)＝1，解得x＝5－1. 2
3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．
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[答案] 99°
[解析] 连接OB、OC、AC，根据弦切角定理得， ∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，
1
可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
2
[点评] 可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圆内接四边形对角互补求得∠A.
4．如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
[解析]
连接OC、BE、AC，则BE⊥AE.
∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形， ∴∠CBO＝∠COB＝60°， 又直线l切⊙O于C， ∴∠DCA＝∠CBO＝60°，
∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，
1
而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，
21
在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.
2
5．(2013·银川模拟)如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.
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(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
1
(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．
2OAOB
[解析] (1)∵AB∥DE，∴＝，
ODOE又OD＝OE，∴OA＝OB.
如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB. 又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．
(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC. 由(1)知AB是⊙O的切线， ∴弦切角∠ACD＝∠F， ∴△ACD∽△AFC.
1CD1
∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝. 2FC2ADCD1
∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4. ACFC2又AC2＝AD·AF，
∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.
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