(2012·天津十二校联考)如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.
5[答案]
2
[解析] 解法1：根据题意可得BC2＝CD2＋BD2＝22＋42＝20，即BC＝25.由射影定理得BC2
＝AB·BD，即20＝4AB，解得AB＝5，所以AC＝52－20＝5，设EA＝x，EC＝y，根据切割线定理可得x2＝y(y＋25)，即x2＝y2＋25y，在Rt△ACE中，x2＝y2＋(5)2，故25y＝5，解得y＝52555故x2＝＋5＝，得x＝，即EA＝. 4422
CD2解法2：连AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，∴AD＝＝1，
BD又EA切⊙O于A，∴∠EAB＝90°，
EAABAB·CD5∴△EAB△CDB，∴＝，∴AE＝＝.
CDBDBD2
7．(文)(2013·惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．
5，2
[答案]
7
[解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝3，∴∠AOP＝60°， 又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1， 22＋12－PD21∴cos∠POD＝＝－，∴PD＝7.
22×2×1
(理)(2013·天津)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．
6
[答案]
15 2
[解析] 因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB×EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△BDBCBC·EA5×615EBA，所以＝，则BD＝＝＝.
EAEBEB42
8.
如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.
[答案]
2 [解析] 连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝2. 9．(文)(2013·佛山二模)如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心，已知∠BPA＝30°，PA＝23，PC＝1，则圆O的半径等于________．
[答案] 7 [解析]
7
由已知可得，PA2＝PC·PB，∴PB＝12，
如图，连接OA并反向延长，交圆于点E，交BC于D，因为∠BPA＝30°，在Rt△APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB，因此，(2R－2)×2＝3×8，解得R＝7.
(理)(2013·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，CE
若AB＝3AD，则的值为________．
EO
[答案] 8
[解析] 连接AC、BC，则AC⊥BC.
121
∵AB＝3AD，∴AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB.
3361
又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝AB.
22
在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝AB2.
9
14
在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝AB，CE＝AB，∴
189CE
＝8. EO
三、解答题
10．(文)(2012·哈三中模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过⊙O上一点H作⊙O的切线，BC与这条线切线平行，AC、AB的延长线交这条切线于点E、F，连接AH、CH.
8
(1)求证：AH平分∠EAF；
(2)若CH＝4，∠CAB＝60°，求圆弧BHC的长． [解析] (1)证明：连接OH，则OH⊥EF. ∵EF∥BC，∴OH⊥BC，∴H为弧BC的中点， ∴∠EAH＝∠FAH，∴AH平分∠EAF.
(2)连接CO、BO，∵∠CAB＝60°，∴∠COB＝120°， ∴∠COH＝60°，∴△COH为等边三角形， ∴CO＝CH＝4，
8π又∵∠BOC＝120°，∴BHC的长为. 3
1
(理)(2013·长春第二次调研)如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB＝3AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC＝30°.
(1)求AF的长； (2)求证：AD＝3ED.
[解析] (1)延长BE交圆E于点M，连接CM，则∠BCM＝90°，又BM＝2BE＝4，∠EBC＝30°，所以BC＝23.
11
又AB＝AC，则AB＝BC＝3，
32
所以根据切割线定理得，AF2＝AB·AC＝3×33＝9，即AF＝3.
9
(2)过点E作EH⊥BC于点H，则EH＝EB2－BH2＝1，且△EDH与△ADF相似， EDEH1
从而有＝＝，因此AD＝3ED.
ADAF3
能力拓展提升
一、填空题 11．(文)
(2013·广州联考)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于D，且AD＝5DB，设∠OCD＝θ，则cos2θ＝________.
1[答案]
9
11OD
[解析] 设BD＝1，则AD＝5，∴OC＝AB＝(AD＋DB)＝3，∴OD＝OB－BD＝2，∴sinθ＝
22OC2
＝， 3
21
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×()2＝.
39(理)
如图所示，已知圆O直径为6，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.
[答案] 3
[解析] ∵AB为直径， ∴∠ACB为直角，
∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2， ∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，
10