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把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，那么棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。
求得270、18、15的最大公约数为3。所以，正方体棱长最大应是3厘米，也就是0.3分米。
aaaaa【例3】用长是9厘米，宽是6厘米，高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块____块。
把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现要求长方体块数最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数。求出了正方体的棱长后，再根据体积关系可以求得长方体块数。
解9、6、7的最小公倍数是126，所以叠成的正方体边长应是126的倍数，至少是126厘米。
126的立方÷（9×6×7） =5292（块） 【例4】常青小学六年级有若干人。
（1）如果3人一行最后余2人，7人一行最后余2人，11人一行最后也余2人，六年级最少有多少人？
（2）如果3人一行余1人，7人一行余5人，11人一行余9人，六年级最少有多少人？
分析：（1）如果总人数减少2人，那么总人数是3、7、11的公倍数。现要求六年级最少有多少人，可求得3、7、11的最小公倍数，再加上2人； （2）如果总人数加上2人，那么总人数是3、7、11的公倍数。求六年级最少有多少人，可先求得3、7、11的最小公倍数，再减去2。
1.甲乙两数之比为5∶3，它们的最大公约数与最小公倍数的和为1040，求甲乙
两数。
5∶3 15＋1＝16
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10∶6 30＋2＝32 15∶9 45＋3＝48 20∶12 60＋4＝64
答案: 325，195；（另：最大公约数与最小公倍数的积等于两数的积）
4.分母是1001的最简真分数有____个。
解：1001＝7×11×13，再去掉7的倍数143个，11的91个，13的77个。其中77的倍数，91的倍数，143的倍数都减了两次。
故1000－143－91－77＋13＋11＋7＝720
【例4】从1到400的自然数中，数字“2”出现____次。
【分析】在1～400这400个数中，“2”可能出现在个数、十位或百位上，应分三类分别计数；
（1）“2”在个位上。 2、12、??292、302、312、?392，共40（次） （2）“2”出现在十位上，20～29，120～129，220～229，320～329，也是40（次）。
（3）“2”在百位上，从200～299，共100次。
【例5】有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果要求所围成的三角形的底边长是11厘米，那么共可围成____个不同的三角形。
【分析】可设底边为11厘米的三角形的另外两条边长分别为a、b，那么， 11+1=12≤a+b≤11+11=22
根据a+b的取值（从12到22），把这样的三角形分为11类：a+b=12，a+b=13，a+b=14，??，a+b=22，围成的每类三角形分别有，6个，5个，5个，4个，4个，3个，3个，2个，2个，1个，1个。
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解6+（5+4+3+2+1）×2=36（个）。
Aaaaa例6 设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么，a与b的和可以有____种不同的值。
分析 两个数的最小公倍数是72，这两个数的关系可能是：（1）一个数是72，另一个数是72的约数（不含72）；（2）一个数是36，另一个数是72的约数但不是36的约数；（3）一个数是24，另一个数是72的约数但不是24的约数；（4）一个数是18，另一个数是72的约数但不是18和36的约数。（5）两个数互质（9和8）。 11+2+2+1+1=17（种）
2、如图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π＝3）。
分析与解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：Ⅰ＋S＝60°圆心角扇形ABC面
积，得：Ⅰ＋Ⅱ＝S＝π×32
扇形ABC÷6＝9/2。
3、如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
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分析与解：已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积。半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长。
BC＝[π×（20÷2）2
÷2－7]×2÷20＝（157－7）×2÷20＝15（厘米） 4、如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。（取π＝3）
分析与解：阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为6的正方形面积减去1/4的以6为半径的圆的面积。
S＝S2
阴影三角形ACD－（S正方形BCDE－S扇形EBD）＝1/2（16×6）－（62－π×6÷4）＝48－9＝39（平方厘米）
7、如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。（取π＝3）
分析与解：由容斥原理：S2
阴影＝S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD＝π×6÷4＋π×42
÷4－6×4＝π×（36－16）÷4－24＝13π－24≈15（平方厘米）
12、如图，以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小 28平方厘米，AB长40厘米。求BC的长度。（π取3.14）
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分析与解：阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，即半圆面积比三角形ABC的面积小28平方厘米，半圆面积=1/2π*20^2=628平方厘米， 三角形ABC的面积=半圆面积+8=628+28=656平方厘米， 所以，BC=2*656/40=32.8（厘米） 答：BC的长度是32.8厘米。
2．如图，把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′，得到一个大的四边形A′B′C′D′，若四边形ABCD的面积是1，求四边形A′B′C′D′的面积．
解：连结AC′，AC，A′C考虑△C′D′D的面积，由已知DA=D′A，所以S△C′D′D=2S△C′AD．同理S△C′D′D=2S△ACD，S△A′B′B=2S△ABC，而S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，所以S△C′D′D+SS△A′B′B=2S四边形ABCD．同样可得S△A′D′A+S△B′C′C=2S四边形ABCD，所以S四边形A′B′C′D′=5S四边形ABCD．
3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
解：用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为5∶7∶2，根据齿数与转数成反比例的关系． 甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10， 乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以
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